美国：Princeton、NYU、UChicago、Berkeley、Havard、MIT、Caltech、Brown。
德国：玻恩大学。
俄罗斯：莫斯科大学、圣彼得堡大学。
日本：东京大学、京都大学。
以色列：希伯莱大学。
英国：剑桥大学。
法国：ENSde Ulm、巴黎第六大学、南巴黎大学。
瑞士：ETHZurich。
匈牙利：EotvosLorand大学。
不过从申请上说，因为各种原因，有些学校水平虽然高，但是很少或者基本不提供奖学金，比如说俄罗斯的莫斯科大学、圣彼得堡大学、匈牙利的EotvosLorand大学，还有像法国巴黎第六大学、南巴黎大学、德国的玻恩大学，一般只对博士生提供奖学金，硕士生就很难拿到奖学金，所以一般去那里都是读博士的。有些学校也提供奖学金，但是毕业以后很难留下来找到合适的教职，要到其它国家找教职，所以申请难度也不是非常高，比如说东京大学、京都大学、ETHZurich。还有些学校，所在国家的语言国内找不到地方教，所以没人会去，比如说以色列的希伯莱大学，教学是用希伯莱语，国内估计只有北京上海能找到教希伯莱语的地方。所以实际上，申请难度最大的也就是这么几个：
美国的Princeton、NYU、UChicago、Berkeley、Havard、MIT、Caltech、Brown，法国的ENSde Ulm（巴黎高师），主要是美国的这几个学校，其中纯数学方面Princeton、UChicago，应用数学方面NYU申请难度最大。法国的ENSde Ulm申请难度应该说和这三个学校类似，但是因为申请的方式不同，侧重点不同，也不太好具体比较。
对于任何专业的申请，GPA、论文、推荐信、GT成绩都是比较关键的因素。不过相对来说，GT一般就是达到一定标准即可。至于GPA，一般地说，敢申请Princeton、UChicago、NYU，包括ENSde Ulm的GPA肯定都不会低，负责招生的教授要单看GPA也很难取舍。在这种情况下，论文和推荐信这些东西就很关键了。特别对于数学专业，一般本科生很难在申请的时候有发表的论文，如果谁有，自然就大占便宜了。至于推荐信，这个也是显然的，如果你拿着Wolf数学奖得主级大牛的推荐信去申请，那当然是无往不胜了。
不过论文也罢，推荐信也罢，关键的是专业实力。大家要明白，人家给你奖学金，让你去读研究生，那是指望你的专业水平，能帮教授出论文，能给本科生做好助教。至于各种申请技巧，比如说找教授套瓷，基本的还是要靠你的专业实力，否则你都不知道怎么和教授搭上话。就算搭上话了，人家几封信就看出你是草包，当然也不会要你了。所以归根到底，要想拿到数学类的牛OFFER，一定要有专业实力。提高专业实力，这个是个长期的过程，如果你等到大三快申请的时候才开始注意这点，基本上，我可以说，你已经来不及了。所以一定要从现在就开始，抓紧时间提高实力。
提高专业实力的基本要点就两条：
1，要打好基础。
2，要尽早开始接触本学科的前沿，参加科研工作，早点写出有水平的论文。
特别是要指出的是，有些人总觉得，要把基础打得非常扎实，相关专业课都学完了，才能开始参加讨论班、读论文、跟导师做研究。不过，这其实是个错误的指导思想。打基础当然很重要，但是如果你非要等基础打的非常扎实、相关专业课都学完了，才去读论文、参加讨论班，那么你恐怕本科毕业都不能开始做论文。课是上不完的，基础也是打不完的。正确的做法是，基础打的差不多了，就开始参加一些讨论班，读专业论文，然后边做研究，边打基础，边干边学。
对于数学类专业，特别是数学与应用数学专业，最重要的基础就是：数学分析、解析几何、线性代数、抽象代数、古典微分几何、微分流形、实变函数、泛函分析、常微分方程、偏微分方程、概率论。信息与计算科学专业还要加上数值分析。此外，四大力学（理论力学、电动力学、量子力学、热力学与统计物理学）和连续介质力学对于数学与应用数学专业和信息与计算科学专业（即计算数学）也是非常重要的。至于统计学专业，因为我不太熟悉，就不提了。这些课程是相关方向的专门化课程的必要的基础，是必须要学扎实的。但是正如前面说的，基础是打不完的，所以也不能完全等到把这些课都学到滚瓜烂熟的时候才去学习专门化课和参加科研工作。
实事求是的说，科大的数学offer，虽然比除北大以外的其它学校都要好，但是和北大还是有一些差距的。统计学和应用数学以及计算数学和北大比是半斤八两，可能还要好一些，但是纯数学的offer确实存在差距，北大基本上每年都有Princeton或者UChicago的纯数学offer，科大就没有，至于ENSdeUlm，因为科大过去的申请重点不在法国，所以不好比较。至于原因，很简单，北大数学学院的本科生源比科大数学系要好一些，北大新生中有奥赛金牌，这对申请是很有帮助的，此外有些竞赛保送生，高中的时候就学过一些大学的课程，所以可以早些开始做论文。不过这点差距，还是完全可能通过努力弥补的。对于想拿到Princeton、UChicago的纯数学offer的学生，包括想去ENSde Ulm的学生，我有四点建议：
1，对于数学类的基础课，应该在上课以前适当超前学习，最好能在大二以前就把基础课自学一遍，这样学两遍，一可以保证比较高的GPA，二可以保证尽早开始做论文。
2，大三开始在系里找导师，参加科研，尽早完成论文。
3，对于参考书，看是一定要看的，但是最好就在课本之外选一本经典的国外教材，把上面的题目做一遍就可以了。
4，GRE应该在大二结束以前通过，越早越好，这样做的原因是：首先，早点通过GRE可以避免到后来又要上课又要读文献又要做研究，搞得手忙脚乱；其次早点过GRE，对于提高阅读英文资料的速度是有好处的。还有就是，一般大家考GRE都是在暑假准备，但是暑假恰恰是学术会议最多的时候。无论国内外都是如此，我觉得对于想拿顶级offer的学生应该多争取机会参加这种会议，一方面固然是可以可以开拓眼界，另外一方面则是在这些会议上，有可能能够和一些大牛建立学术上的联系，将来可以争取让他们写推荐信，这对于申请来说非常重要。
对于四大力学，这里要说一下，如果是想往数学物理方向（不论是量子场论、弦论、量子可积系统还是其它的方向）发展的，当然是越早学完越好，而且要学扎实，要看参考书，而且要有全面的物理基础，要能达到LandauMinimumExam的要求（不过这个也可以等到出国读研究生的时候。），而且一定要上实验课，理论物理专业要上那些物理实验课，想学数学物理的学生也要上。但是对于其它的学生，晚一些学也无妨，甚至可以等到出国读研究生的时候再学，物理基础和实验也不需要有那么高的要求。
前面说到套瓷的问题，这里我再重点说一下。我发现很多人套瓷一点技术含量都没有。我经常看见有人用类似这样的办法套瓷：“尊敬的XXX教授，我是XXX大学的XXX，我对你的研究方向很感兴趣，很想跟你读研究生，我的GPA是XXX，有论文XXX......”。这样的套瓷，我可以说，除非那教授根本招不到人，否则一定会把这种东西当垃圾邮件删除。这种用垃圾邮件制造商的办法去套瓷的办法，是最低级的办法，成功率基本为零。我觉得，如果想套瓷，那必须要从学术上入手。比如说你想跟某个教授读研究生，那么首先，动手要早，不要等到大四要申请的时候再去套，那么企图太明显，你起码等提前大半年开始动手。其次，你要先研究这个教授的论文，看看能不能提出什么比较好的问题或者做出什么改进之类，然后你给这个教授发信，说你对他的论文有些看法，想要交流之类，先搭上话，然后慢慢拉关系，最后看到时间差不多，就可以提跟他读研究生的问题。当然了，除此之外，还需要做一些其它的情报工作，比如说你得知道他有没有钱招人，在系里的招生委员会里说不说得上话之类。这样套瓷，虽然不可能同时套很多人，但是成功率绝对比前面一种套瓷有效。但是有个前提就是，你一定要有足够的学术实力还可以这么做，否则你没有办法这样套瓷。
Landau Minimum Exam的具体要求：
1.
考试内容：微分方程、数学物理方程、张量分析与微分几何
2.
考试内容：Landau-LifshitsI,
V.I.Arnold
3.
考试内容：Landauand Lifshits II,
77, 97, 98, 102, 106, 108, 109, 115-119 (1989)
4.
考试内容：复变函数，特殊函数（Bessel，椭圆，gamma，正交多项式），积分变换
5.量子力学
考试内容：Landau-LifshitsIII (1989)
85, 87, 88, 90, 101, 104, 105, 106-110, 114, 138, 152
6.
考试内容：Landau-LifshitsIV (1980)
48, 51-52, 55, 57, 66-70, 82, 84-85, 87, 89-91, 95-97, 100-101,106-109,
112, 115-144
7.
考试内容：Landau-LifshitsV
84, 95, 99, 100, 125-127, 134-141, 150-153, 155-160
8.
考试内容：流体力学，Landau-LifshitsVI (1986)
25-27, 28, 30-32, 34-48, 53-59, 63, 67-78, 80, 83, 86-88, 90, 91,94-141
弹性理论，Landau-LifshitsVII (1987)
47
9.
考试内容：Landau-LifshitsVIII (1982)
28, 34-35, 42-44, 56-57, 61-64, 69, 74, 79-81, 84, 91-112, 123,126
10.
考试内容：Landau-LifshitsIX (1978)，考以下小节：1-5,7-18, 22-27, 29, 36-
40, 43-48, 50, 55-61, 63-65, 69
11.
考试内容：Landau-LifshitsX (1979)，考以下小节：1-8,11, 12, 14, 21, 22, 24,
27-30, 32-34, 41-44, 66-69, 75, 78-82, 86, 101.
这里写的Landau-LifshitsXX，比如说Landau-LifshitsVIII是指Landau和Lifshits的理论物理教程第八卷
本着求精不求多的原则，我给一个参考书目，至于其它的参考书，可以将来再慢慢看。说实在的，其实做研究的过程也是一个打基础的过程，有时候自己什么地方基础不扎实，也只有开始搞研究的时候才可以发现，考试100分的不一定基础就比90分的好，能做出东西来那才是真格的。
数学分析：
V.A.Zorich，数学分析，高等教育出版社。
G.M.Fikhtengolts，微积分学教程，高等教育出版社（只用看例题和数项级数那章就可以了）。
线性代数与抽象代数：
E.B.Vinberg，ACourse in Algebra，AMS。（建议优先选这本，不过这本书可能国内很不容易找到，如果搞不到，那就看下面这本。）
A.I.Kostrikin，代数学引论，高等教育出版社。
解析几何：
V.V.Prasolov and V.M.Tikhomirov，Geometry，AMS。
常微分方程：
V.I.Arnold，OrdinaryDifferential Equation，Springer。
实变函数：
D.W.Stroock，AConcise Introduction to the TheoryofIntegration，Birkhauser。
复变函数：
Kunihiko Kodaira（小平邦彦），ComplexAnalysis，Cambridge。
古典微分几何与微分流形：
B.A.Dubrovin、A.T.Fomenko、S.P.Novikov，ModernGeometry，Springer。
数论：
Kenneth Ireland，AClassical Introduction to ModernNumber Theory，Springer。
泛函分析：
Peter Lax，FunctionalAnalysis，Wiley-Interscience。
M.Reed、B.Simon，MethodsofModern Mathematical Physics, Vol. 1: FunctionalAnalysis，AcademicPress。（看里面的无界算子那章就可以了。）
偏微分方程：
V.S.Vladimirov，Equationsof Mathematical Physics，MIR。
V.S.Vladimirov，ACollection of Problems on Equations ofMathematicalPhysics，Springer。（这本书是前一本书的配套习题集，不过里面题目很多，要全做完不太可能，选三分之一的题目应该就差不多了。）
概率论：
A.N.Shiryaev，Probability，Springer。（这书最好分成两部分看，第一部分是，第一章的1-6节，第二章的1-8节、10节、12-13节，第三章的1-8节、11节，第四章的1-4节，第二部分是书里的其它部分。我以前用这本书教学的时候，第一部分是本科生必修课“概率论”的内容，第二部分是多数方向的选修课和概率论方向的必修课“概率论的附加章节”这门课的内容。）
随机过程：
A.V.Bulinsky、A.N.Shiryaev，随机过程论，高等教育出版社。
数理统计：
P.J.Bickel、K.A.Doksum，MathematicalStatisticsVol I，Prentice-Hall。
拓扑学：
D.B.Fuks、V.A.Rokhlin，Beginner'sCoursein Topology，Springer。（对于
V.A.Vassiliev，A.Sossinski，IntroductiontoTopology，AMS。（这本书的除了第一章，其它各章的内容实际上在Novikov的ModernGeometry里也讲了，第一章在Zorich的数学分析也讲了，不过这些重复的部分都是很重要的东西，好在书很薄，多看也不花费多少时间。）
数值分析：
M.T.Heath，ScientificComputing: An Introductory Survey，McGraw-Hill。（数学系现在用的数值分析教材应该是Kincaid的NumericalAnalysis，这两本书正好互补。Heath的这本书比较侧重于各种算法的上机实现。）
K. Atkinson、W.Han，TheoreticalNumericalAnalysis，Springer。（这是一本用泛函分析来讲数值分析的书，偏重于理论，如果对于想做计算数学的学生来说，是很必要看的，否则可能不太需要。）
离散数学：
L.Lovasz、J.Pelikan、K.L.Vesztergombi，DiscreteMathematics，Springer。（随着计算机科学与信息学的发展，离散数学，或者说组合数学与图论，作为计算机科学的基础，其实现在已经是很重要的一门课了，而且和纯数学的其它分支也有越来越紧密的联系，不过长期以来，这门课程并没有列入国内数学专业的必修课，不过现在科大已经把组合数学列入基础数学专业的必修课，这是个好事。Lovasz这本书，材料选择很合适，相信会在相当长的一段时间，会是所有数学专业和计算机科学专业学生学习组合数学和图论的首选。）
普通物理：
L.D.Landau、A.I.Akhiezer、E.M.Lifshitz，GeneralPhysics：Mechanicsand MolecularPhysics，Pergamon。
E.M.Purcell，Electricityand Magnetism，Mcgraw-Hill。
A.N.Matveev，Optics，Mir。
P.Feynman，TheFeynman Lectures on Physics，Addison-Wesley。（重点推荐第三卷，能在普通物理的层次上把量子力学的基本概念讲明白的，据我所知，也就是这本书了，包括Nobel奖得主Ginzburg编写的俄文版的普通物理教科书，这方面也有些问题。）
以上是数学类的主要课程。
下面是对于学纯数学的来说非常重要的课程：
代数拓扑学：
B.A.Dubrovin、A.T.Fomenko、S.P.Novikov，ModernGeometry，Springer。
R.Bott、L.W.Tu，DifferentialFormsin Algebraic Topology，Springer。
代数几何：
I.R.Shafarevich，BasicAlgebraic Geometry Vol II，Springer。
表示论：
W.Fulton、J.Harris，Representationtheory：Afirst course，Springer。
交换代数：
M.F.Atiyah、I.G.Macdonald，IntroductiontoCommutative Algebra，Addison-Wesley。
微分拓扑学：
J.Milnor，DifferentialTopology。（作者在Princeton的油印讲义，没有正式出版，中文翻译可以收在下面一本书的中文版里，翻译质量还不错。）
J.Milnor，Topologyfrom the Differentiable Viewpoint，PrincetonUniversity Press。
J.Milnor，MorseTheory，PrincetonUniversityPress。
测度论：
Vladimir Bogachev，MeasureTheory，Springer。（这本书的第一卷其实也是很不错的实变函数教科书，第二卷则是包括很多新的研究成果的测度论教材，我相信这本书将在很长一段时间成为测度论的标准教材。）
Fourier分析：
L.Hormander，TheAnalysis of Linear Partial DifferentialOperatorsI：DistributionTheory and Fourier Analysis，Springer。（Fourier分析是很重要的一门课，不过很遗憾的是，中国学生在这方面学得很少，这是一个明显的缺陷。）
以下是理论物理方面的课程：
理论力学：
L.D.Landau、E.M.Lifshitz，CourseofTheoretical Physics Volume 1：Mechanics，PergamonPress。
V.I.Arnold，MathematicalMethods of Classical Mechanics，Springer。
连续介质力学：
L.D.Landau、E.M.Lifshitz，CourseofTheoretical Physics Volume 6：FluidMechanics，PergamonPress。
L.D.Landau、E.M.Lifshitz，CourseofTheoretical Physics Volume 7：Theoryof Elasticity，PergamonPress。
电动力学：
L.D.Landau、E.M.Lifshitz，CourseofTheoretical Physics Volume 2：TheClassical Theory ofFields，PergamonPress。
L.D.Landau、E.M.Lifshitz、L.P.Pitaevskii，Courseof Theoretical Physics Volume 8：ElectrodynamicsofContinuous Media，PergamonPress。
量子力学：
D.J.Griffiths，Introductionto Quantum Mechanics，Addison-Wesley。
高等量子力学：
L.E.Ballentine，QuantumMechanics：AModern Developmen，PrenticeHall。
统计物理学：
L.D.Landau、E.M.Lifshitz，CourseofTheoretical Physics Volume 5：StatisticalPhysicsPart I，PergamonPress。
高等统计物理学：
M.Le Bellac、F.Mortessagne、G.Batrouni，Equilibriumand Non-Equilibrium Statistical Thermodynamics，CambridgeUniversity Press。
E.M.Lifshitz、L.P.Pitaevskii，CourseofTheoretical Physics Volume 9：StatisticalPhysicsPart II，PergamonPress。
E.M.Lifshitz、L.P.Pitaevskii，CourseofTheoretical Physics Volume 10：PhysicalKinetics，PergamonPress。
量子场论：
M.E.Peskin、D.V.Schroeder，AnIntroductionto Quantum Field Theory，Perseus。
广义相对论：
H.C.Ohanian、R.Ruffini，GravitationandSpacetime，W.W.Norton& Company。
关于这个参考书目和下面的参考书目特别说明一下，我想对于纯数学专业，把这个参考书目上的数学书看完，就算是打下一个足够的数学基础了。下一步就是按自己的研究方向，按照需要什么学什么的原则，在导师指导下或者自己选一些相关的参考书看。
随便讲一下，我过去见过一些数学专业的学生，基本上都是本科生，野心很大，什么都想搞，什么都想学，于是漫无目的的去看书读文献，精神可嘉，效果却没有一个好的。我认为，即便是有人想成为VonNuemann、Kolmogorov那样的所谓“全能型”数学家，也不能这么看。首先现在不是Newton、Gauss的时代，也不是Poincare的时代，自二十世纪以来，数学知识成爆炸性增长，没有任何人可以面面俱到，二十世纪以前有可能有人能够面面俱到，但是以后根本不可能，即便是VonNuemann、Kolmogorov这样的号称“全能”的数学家，其实也不是面面俱到的，VonNuemann在数论和拓扑学上没有什么贡献，Kolmogorov不搞数论，微分几何他也不研究。而且这二位的研究也有个主线，比如Kolmogorov，早年从Luzi的实变函数讨论班上学来了很多实变函数相关的东西，然后去Gottingen访问的时候又从EmmyNoether那里学了点东西，他后来搞概率论、动力系统、泛函分析、拓扑代数、拓扑学、流体力学、理论计算机科学、数理统计，其实通通都是在这个基础上演化出来的。VonNuemann的情况也差不多。
我觉得，正确的做法还是要先在一个方向上搞扎实，做出成果来，然后再争取往其它方向扩展。看书读文献也一样，一定要有一个主线，其它东西只能是个补充，绝对不能喧宾夺主。
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