高考数学快速提升成绩题型训练——不等式

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2009届高考数学快速提升成绩题型训练——不等式

 

1. 已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0时 ＞0  

(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；

(2)解不等式  f(x+ )＜f( )；

(3)若f(x)≤t²－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围 

 

 

 

 

 

 

 

2 设不等式x²－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M ［1，4］，求实数a的取值范围 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. 解关于x的不等式 ＞1(a≠1)

 

 

 

 

 

 

4. 设函数f(x)=a^x满足条件  当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1 时，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x²)＞f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围 

 

 

 

 

5. ，求关于 不等式 的解集。

 

 

 

 

 

 

6. 解关于 。

 

 

 

 

7.已知

求证：（1） ；（2） 。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件。假若定价上涨 ，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍。

（1）    若 时的 值；

（2）    若  ，求使售货金额比原来有所增加的 的取值范围。

 

 

 

 

 

9.已知函数 在R上是增函数， 。

（1）    求证：如果 ；

（2）    判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；

（3）    解不等式 。

 

 

 

 

 

 

 

 

10.奇函数 上是增函数，当 时，是否存在实数m，使 对所有的 均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m；若不存在，说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

11. 设数列 满足

     （Ⅰ） 证明： 对一切正整数 成立；

（Ⅱ）令 判断 与 的大小，并说明理由.

 

 

 

 

 

 

12. 设 使 , ，求证：

(Ⅰ)a＞0且-2＜ ＜-1；

(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. 已知函数 ,数列{ }满足:

证明:（Ⅰ） ;(Ⅱ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. 已知函数 ,数列 满足: ,

(1)证明:数列 是单调递减数列.

（2）证明：

 

 

 

 

 

 

15. 若关于 的不等式 的解集是 ，求不等式 的解集

 

 

 

 

 

 

 

 

16.设 都是正实数,求证:

 

 

 

 

 

 

 

 

17、设 ，解关于 的不等式   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.过点 作直线 交 正半轴于 两点.

(1)若 取到最小值,求直线 的方程

(2)若 的面积取到最小值,求直线 的方程

 

 

 

19.设函数 正实数 满足 ，且

（1）求证： ;         （2）求证：

 

 

 

 

 

 

20.已知函数 ,数列 满足: ,

(1)设 证明:    （2）证明：

 

 

 

 

 

21. （1）设a>0，b>0且 ，试比较a^ab^b与a^bb^a的大小。

（2）已知函数 ， ，试比较 与 的大小．

 

 

 

 

 

 

22. 已知实数a,b,c满足条件： ，其中m是正数，对于f(x)=ax²+bx+c

(1)如果 ，证明：

(2)如果 ，证明：方程f(x)=0在(0,1)内有解。

 

 

 

 

 

 

23. 已知函数 满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有

         

和 ，其中 是大于0的常数.

设实数a₀，a，b满足         和

(Ⅰ)证明 ，并且不存在 ，使得 ；

(Ⅱ)证明 ；

(Ⅲ)证明 .

 

 

 

 

 

 

 

24. 己知 ，

（1）

（2） ，证明：对任意 ， 的充要条件是 ；

（3） 讨论：对任意 ， 的充要条件。

 

 

 

 

 

 

 

 

25. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案：

1. (1)证明  任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈［－1，1］，则f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)+f(－x₂)= ·(x₁－x₂)

∵－1≤x₁＜x₂≤1，

∴x₁+(－x₂)≠0，由已知 ＞0，又 x₁－x₂＜0，

∴f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数 

(2)解  ∵f(x)在［－1，1］上为增函数，

∴   解得  {x|－ ≤x＜－1，x∈R}

(3)解  由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，

故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，

所以要f(x)≤t²－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t²－2at+1≥1成立，

故t²－2at≥0，记g(a)=t²－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0，

只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，

解得，t≤－2或t=0或t≥2 

∴t的取值范围是  {t|t≤－2或t=0或t≥2} 

 

2. 解  M ［1，4］有两种情况  其一是M= ，此时Δ＜0；其二是M≠ ，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围 

设f(x)=x² －2ax+a+2，有Δ=(－2a)²－(4a+2)=4(a²－a－2)

(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M= ［1，4］

(2)当Δ=0时，a=－1或2 

当a=－1时M={－1} ［1，4］；当a=2时，m={2} ［1，4］ 

(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2 

设方程f(x)=0的两根x₁，x₂，且x₁＜x₂，

那么M=［x₁，x₂］，M ［1，4］ 1≤x₁＜x₂≤4

即 ，解得  2＜a＜ ，

∴M ［1，4］时，a的取值范围是(－1， ) 

 

3. 解  原不等式可化为  ＞0，

①当a＞1时，原不等式与(x－ )(x－2)＞0同解 

由于

∴原不等式的解为(－∞， )∪(2，+∞) 

②当a＜1时，原不等式与(x－ )(x－2) ＜0同解 

由于 ,

若a＜0， ,解集为( ，2)；

若a=0时， ，解集为 ；

若0＜a＜1， ,解集为(2， )

综上所述  当a＞1时解集为(－∞， )∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2， )；当a=0时，解集为 ；当a＜0时，解集为( ，2） 

 

4. 解  由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x²)＞f(m+2)，x∈(0，1 恒成立 

在x∈(0，1 恒成立 

整理，当x∈(0，1)时， 恒成立，

即当x∈(0，1 时， 恒成立，

且x=1时， 恒成立，

∵ 在x∈(0，1 上为减函数，∴ ＜－1，

∴m＜ 恒成立 m＜0 

又∵ ，在x∈(0，1 上是减函数，∴ ＜－1 

∴m＞ 恒成立 m＞－1

当x∈(0，1)时， 恒成立 m∈(－1，0)        ①

当x=1时， ，即是 ∴m＜0              ②

∴①、②两式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1 时，

f(3mx－1)＞f(1+mx－x²)＞f(m+2)恒成立，m的取值范围是(－1，0)

 

5.解集为  

 

6、①若 ；

②若 ；

③若 。

 

7.证明：（1） ，

            

        ，

        

（2）首先易证

 

8.解：该商品定价上涨 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是

因而有：

（2）

 

9.

（1）    证明：当

（2）（1）中命题的逆命题为：    ①

    ①的逆否命题是：          ②

仿（1）的证明可证②成立，又①与②互为逆否命题，故①成立，即（1）中命题的逆命题成立。

（2）    根据（2），所解不等式等价于

。

 

 

10.解：易知 ，

   

因此，满足条件的实数m存在，它可取 内的一切值。

 

 

 

11. 解析：（Ⅰ）证法一：

①当 时， 不等式成立，

②假设 时， 成立

当 时，

时， 成立

由①②可知， 对一切正整数 成立.

证法二：由递推公式可得

…

上述各式相加并化简得

又 时， 成立，故

（Ⅱ）解法一：

故

解法二：

故 .因此

 

12. 解析：(Ⅰ)因为 ,所以

又 ,消去 ,得 ,

由 消去 ,得

所以

(Ⅱ)抛物线 的顶点坐标为

又 两边乘以 得

,又

而

所以方程 在区间 与 内分别有一实根,即方程 在 有两个实根

 

 

13. 解析：（Ⅰ）先用数学归纳法证明

①当 时,由以知,结论成立.

②假设当 时,结论成立,即 .

因为 时. 所以 在 上是增函数.

又 在 上连续,从而

即

故当 时,结论成立.

由①②可知 对一切正整数都成立.

又因为 时,

所以 .

综上所述 .

(Ⅱ)设函数

由（Ⅰ）知当 时,

从而 .

所以 在 上是增函数,又 在 上连续,且 .

所以当 时, 成立,所以

即 ,故

 

14. 解析：本题以函数、数列为载体，考查不等式证明的基本方法，在证明的过程中，要对所证的不等式适当变形、合理放缩.

(1)证明:由题意得

所以数列 是单调递减数列

（2）证明：由(1)的证明过程可知，

所以

                                 

故

 

 

15.解：由不等式 的解集是 得

是方程 的两个根，故

又 所以                   

不等式 即

或                        

所以不等式 的解集是 .      

 

 

16、证明：因为 都是正实数，

     

上述各式相加，得：

       

 

 

17、解：设 则原不等式化为

①当 时， 所以

②当 时， 所以

③当 时， 所以

综上所述：

即                                            

⑴当 时，由 得

（2）当 时，由 得                 

所以，当 时，原不等式的解集是

当 时，原不等式的解集是                       

 

18、解：设直线 的方程为： 则 ，

（1）

当且仅当 且 时，即 时取等号.

此时，直线 的方程是：                 

（2）

当且仅当 且 时，即 时取等号.

此时，直线 的方程是： .                    

 

19、证明：（1）由 得

， ，得

，所以                       

（2）由 得

，得 ，

所以 ，又

                                                

 

 

20、证明：（1）因为 ,数列 满足: ,

所以

= （

所以 ：                                         

（2）由（1）得

所以

即                  

 

21. 解：(1)根据同底数幂的运算法则，可考虑用比值比较法。

当a>b>0时， ,则 ，于是a^ab^b>a^bb^a

当b>a>0时， ,则 ，于是a^ab^b>a^bb^a

综上所述，对于不相等的正数a,b，都有a^ab^b>a^bb^a

解(2)作差 — =

当 时， 得 = 。

（2）当 时， ①当 时， 得 = 。②当 时， 得

> 。③当 时， 得

< 。

综上所述：当 或 时 = 。当 且 时 > 。当 且 时 < 。

 

22. 解：（1）

所以

（2）由于f(0)=c,f(1)=a+b+c,当a>0时, 因为 ,所以

若c>0,,f(0)=c>0,所以方程f(x)=0在 内有解,若c≤0,

所以方程在 内有解

当a<0时,同理可证

故 时,方程f(x)=0在(0,1)内有解

 

 

23. 证法一：（I）任取  

        和   ②

        可知 ，

        从而 .  假设有 ①式知

       

        ∴不存在

        （II）由                         ③

        可知   ④

        由 ①式，得    ⑤

        由 和②式知，    ⑥

        由⑤、⑥代入④式，得

                           

（III）由③式可知

  （用②式）

       （用①式）

证法二：题目中涉及了八个不同的字母参数 以及它们的抽象函数值 。参数量太多，让考生们在短时间内难以理清头绪。因而解决问题的关键就在于“消元”——把题设条件及欲证关系中的多个参数量转化为某几个特定变量来表示，然而再进行运算证明。“消元”的模式并不难唯一，这里提供一个与标准解答不同的“消元”设想，供参考。

题设中两个主要条件是关于 与 的齐次式。而点 、 是函数图象上的两个点， 是连接这两点的弦的斜率。若欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示，则可以借助斜率进行“整体消元”。

设 为不相等的两实数，则 由题设条件可得：

和 。

令 ，

则对任意相异实数 ，有 及 ，即 。

由此即得 ；又对任意 有 ，得函数 在R上单调增，所以函数 是R上的单调增函数。

如果 ，则 ，因为 ，所以 。即不存在 ，使得 。于是，（Ⅰ）的结论成立。

考虑结论（Ⅱ）：

因为 ，故原不等式为

；

当 时，左右两边相等；

当 时， ，且 ，则原不等式即为：

，

令 ，则原不等式化为 ，即为 。

因为 ，则 ，所以 成立，即（Ⅱ）中结论成立。

再看结论（Ⅲ）：

原不等式即 ，

即 ，注意到 ，则 ，则原不等式即为

即 ，令 ，则原不等式即化为

，即 ，因为 ，则 ，所以

成立，即（Ⅲ）的结论成立。

在一般的“消元”方法中，本题三个小题中不等关系的证明过程差异较大。尤其是（Ⅱ）与（Ⅲ），许多尖子学生证明了（Ⅱ）的结论而不能解决（Ⅲ）。

借助斜率k“整体消元”的想法把（Ⅱ）、（Ⅲ）中的不等关系都转化为相同的不等关系 ，然后由条件 推证，有独到之处。

 

24. 证明：（1）依题意，对任意 ，都有

（2）充分性：

必要性：对任意

（3）

即

 而当

 

 

25. 解：设2001年末的汽车保有量为 ，以后每年末的汽车保有量依次为 ，每年新增汽车 万辆。

由题意得

    

 

 

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