本文是FIR滤波器的第二个问题——窗函数法的第一篇。窗函数法，是FIR滤波器这部分内容的重点。
二 窗函数法
1. 设计原理
前面说了，FIR滤波器的单位冲激响应h(n)是有限长序列：
h(n)={b0,b1,b2,...,bN-1}
FIR滤波器设计，就是找到一组数字，构成h(n)，使其滤波性能满足要求。
下面以低通滤波器为例来进行分析。
首先来看“最好”的低通滤波器——理想低通滤波器，长什么样？
上图是它在频域的样子，用公式来表示，频率响应为：
理想低通对于通过它的信号中，大于wc的频率成分，寸草不留，低于wc的频率成分，毫发无伤。太牛了！
可惜，实际系统的频率响应，永远无法达到上式或上图。为什么呢？我们来求一下理想低通的单位冲激响应hd(n) 就明了了。
将上式带入IDTFT的公式，就可以求得，理想低通的hd(n)如下式（具体积分过程就省略了）：
画出图来：
看到了吧，理想低通的hd(n)，是个无限长的序列，在n<0的时候函数值有非零值，所以它是个非因果系统。也就是说，是物理不可实现的。
那怎么办呢？我们用因果的系统去逼近它。怎么把它变成因果的呢？只能舍弃掉n<0的值，只保留n≥0的部分。
还要把无限长变成有限长，也就是截取N个点。怎么截呢？像下图这样子截行吗？
上图这样子截取的话，得到的h(n)=hd(n)RN(n)，也是FIR滤波器，并且是因果的，这没问题。但是，它就可能不满足线性相位的特性了。
其实，我们只需要稍作努力就可以使它具有线性相位的特性。上一篇中推导了，如果h(n)关于 (N-1)/2 偶对称，那么它一定是线性相位的。怎么使得截取后的h(n)偶对称呢？像下图这样子不就行了嘛：
使Sa函数主瓣的最高点位于0~N-1的中间，也就是
总结一下：把理想低通的单位冲激响应hd(n)截取n=0~N-1这N个点，得到FIR滤波器的单位冲激响应：
h(n)=hd(n)RN(n)
那，弱弱地问一句，这个FIR，性能如何呢？
要分析它的滤波性能，就要求h(n)的傅里叶变换，法宝来了，”时域相乘，频域卷积“。
FIR滤波器的频谱，是理想低通的频谱函数与矩形窗的频谱函数之卷积。
理想低通的频谱函数长啥样我们知道（就是文章开头的“别人家的孩子”图），矩形窗的频谱是啥？求RN(n)的DTFT呀：
这两个东西，卷积后会是啥模样呢？严格的公式推导不容易，定性分析即可。信号与系统中学习过的卷积的图解法派上用场了。
最终的结果（FIR滤波器的幅频特性，也就是咱家的孩子）如下图：
上图中，虚线是理想低通的幅度谱，实线是FIR的幅度谱，这差距不是一般的大啊。简直是一个天上、一个地下，那就是“学渣”和“学神“的区别啊
第一个区别：“学神”（理想低通）在通带内是常数，阻带内是0；而“学渣”（加矩形窗得到的FIR）呢，都是起伏波动的，并且，越靠近wc处，波动越大。
第二个区别：“学神”从通带到阻带，是直上直下的；而“学渣”从通带到阻带，是一个幅度逐渐下降的过程。
那么，如何评价“学渣”到底怎么样呢？也就是说这个FIR的性能如何呢？我们关心两个指标，一个是过渡带宽度，我们希望，过渡带越窄越好。我们分析一下从幅度最高点到幅度最低点的宽度有多宽呢？恰好是矩形窗频谱的主瓣宽度（看一下前面的动画演示）4Π/N，也就是说，增大N可以得到较窄的过渡带。这个很容易实现。哎，看来在这一点上“学渣”也可以提升自我哦。
另一个指标，就是通带和阻带的波纹系数，上图中直接给出了这个值，是0.0895（怎么计算出来的呢？比较复杂，要算最高点或最低点处对应的积分值，幸好一百多年前的吉布斯老爷爷已经算出来啦），转换成dB，阻带最小衰减就是-20×log10(0.0895) ≈21dB。
这个衰减在工程上是远远不够的，我们希望它再大一点，能不能改善呢？很抱歉，矩形窗说，臣妾无能为力
总结一下：
加窗后得到的FIR滤波器，通带和阻带之间出现过渡带，过渡带宽度取决于窗函数的主瓣宽度；
通带和阻带内的幅频特性出现起伏波动，波动的大小，取决于窗函数旁瓣的幅度；
增大长度N，可以减小过渡带宽度，但不能减小起伏波动。
这种现象其实很容易理解。我们在FFT频谱分析中也曾经讲到过，矩形窗在起点和终点都是不连续的，也就是说，数据是突然开始、突然结束的。从物理概念上很好解释，这种时域上的突然变化，意味着频域上存在高频分量。如果抑制了这些高频分量，就能够降低旁瓣幅度。因此从这样一个角度，直观上就可以想到，窗函数的起始处和结束处越平坦，对旁瓣的抑制就应该越好。这就是本节的第二个问题”各种窗函数“。下一篇将会详细说明。
下一篇预告：各种常用窗函数。
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