正态分布和erf(x)函数

　一、数据

　　正态分布面积：2.14%（2σ到3σ）、13.6%（1σ到2σ）、34.134%（0到σ）。

　　正态曲线下，横轴区间（μ-σ,μ+σ）内的面积为68.269%。P{|X-μ|<σ}=Φ（1）-Φ（-1）=2Φ（1）-1=34.134%*2=0.6827

　　横轴区间（μ-2σ,μ+2σ）内的面积为95.450%。P{|X-μ|<2σ}=2Φ（2）-1=(13.6%+34.13%)*2=0.9545

　　横轴区间（μ-3σ,μ+3σ）内的面积为99.730%。P{|X-μ|<3σ}=2Φ（3）-1=0.9973

二、数据推导

　　P(0<x<1)=Φ（1）-Φ（0）=0.841345-0.5=0.341345

　　P(1<x<2)=Φ（2）-Φ（1）=0.97725-0.841345=0.135905

　　P(2<x<3)=Φ（3）-Φ（2）=0.99865-0.97725=0.0214

　　Φ（1）=0.841345

　　Φ（2）=0.97725

　　Φ（3）=0.99865

　　erf(1/sqrt(2))=1.21004/sqrt(pi)=0.68269

　　erf(2/sqrt(2))=1.69181/sqrt(pi)=0.954502

　　erf(3/sqrt(2))=1-0.00479/sqrt(pi)=0.9972975

　　Φ(1)=0.5+0.5*erf(1/sqrt(2))=0.841345

　　Φ(2)=0.5+0.5*erf(2/sqrt(2))=0.5*(1+0.954502)=0.977251

　　Φ(3)=0.5+0.5*erf(3/sqrt(2))=0.5*(1+0.9972975)=0.998649

三、与efc(x)函数的关系

　　Q(x)=1-Φ(x)

　　Q(x)=0.5*erfc(x/sqrt(2))

　　Φ(x)=1-0.5*erfc(x/sqrt(2))=0.5*[1+erf(x/sqrt(2))]

说明：Φ(x)为标准正态分布函数，Q(x)为Q函数