上一篇从很抽象的角度，介绍了能够支持收敛极限的数学空间。用拓扑空间的定义和例子，从高处俯瞰你学过的初等微积分，把散落的知识，用概念间的联系组织起来，让你看到这些基本概念构筑成一个概括的，无穷空间模糊的图像。
学习没有捷径，唯常习练才能走通。旁人传的只是心法体会。如果没有过去学的微积分知识作为基础，这系列的内容即便记住了，也浮在云中，不过是观光游览。只有用学过的定理公式作为理解概念的桩脚，约束散漫的联想，抽象概念的想象才能落到实处。只有将文中定义，示例和关联的陈述，逐个用逻辑走通，勾画出来的骨架上才有色彩，才有直观想象。正确的想象和浮想的区别，前者可以作为证明的思路，其间的推理能用数学语言来表达和证明。而浮想除了娱乐，推论犹如算卦，不能明确也就没有实用的价值。
如果你已经消化了前几篇，这里将介绍具有更为直观的空间，让你头脑中图像更加鲜明。
很抽象的拓扑空间，缺乏足够的性能可直接用于物理和工程。这一篇和下面一篇，介绍在理论物理和实变泛函课中常见到的，拥有更多性质的拓扑空间。通过它们的联系，揭示相关的数学概念。读者试着从定义来验证所举的例子和关联陈述，用逻辑走通来消化概念，细化前篇建立起来的直观想象。
在集合上的两个点间，如果有了“距离”这个度量，将是应用者最易于想象远近相邻概念的拓扑。这时趋近、收敛和极限，就非常直观了。所以它在物理和数学中有着广泛的应用。这样的拓扑空间叫做距离空间（Metric space），有时也译为“度量空间”。
在集合上怎么抽象化“距离”，让它有最大外延又符合已有的直观想象？首先，它是个两点间非负实数值的度量，0值意味着相等，非0视为不同，这度量对两点是对称的，三点相互之间犹如三角形的三边长度关系。
在集合M上，距离定义为一个二元实数值函数
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