---------------------------------------------------
虽然我们完全可以从古老的面积问题开始逐步诱导出测度概念，但如果在课程的开始不简单阐述一下Lebesgue积分的思想，学生对为什么要定义Lebesgue测度还是会感到有点突兀。所以，我在正式讲授实变函数之前，会首先介绍Lebesgue积分的来龙去脉。
学过微积分的人都非常清楚，微积分不仅是数学史上的一次革命，也让很多过去令人望而生畏的问题变得异常简单。例如，在微积分产生之前，除了直线型、圆形的面积问题，稍微一般的图形面积问题对于一般人来说是个只敢欣赏不敢触碰的问题。然而，微积分的致命缺陷也是显而易见的，一个最突出的缺陷是，黎曼积分关于极限不是封闭的，这就好比有理数不完备一样，使得很多问题在有理数范围内无解，黎曼积分也是如此。如果要你举一个黎曼不可积函数的例子，估计90%以上的人立马想到那个病得不轻的函数—Dirichlet函数，这是一个及其“不正常”的函数--处处不连续，很容易验证它不可积。退一步讲，即使一个可积函数序列的极限依然是个可积函数，也未必能保证积分与极限可以交换顺序。积分与极限的交换顺序问题无论从理论还是应用的角度都是十分重要的，只要你意图用数值方法进行近似计算，就不可避免地涉及这个问题，有时候为了验证积分与极限的交换性，需要耗费大量的精力，也许费了半天的功夫后发现，前面所做的一切全都是在浪费时间，因为你所取函数序列积分的极限压根就不收敛到极限的积分。
那种认为工科学生只需要知道如何计算的观点是绝对错误的，数学思想对于任何需要使用数学的人都是至关重要的。黎曼积分为什么会出现那么多致命的缺陷？不把这个问题搞清楚，你就无法理解勒贝格为什么用了另一种特殊的方法定义新型的积分。
先来回顾一下Riemann积分的定义，也许从定义中可以找出问题的症结所在。
定义：假设?y=f(x)是区间［a,b］上的函数，若存在某个常数A,使得对区间［a,b］的任一分割Δ:a=x0<x1<x2<…<xn=b及任意
联系客服
