确界原理的证明方法是否一定很冗长？

关于实数完备性里的确界原理，华东师范大学的数学分析给出的证明很冗长，前几天看了一些郇中丹老师的证明还是有点问题在里面。刚看到如下一个证明过程：

看起来倒是很简洁，但是我觉得出现了循环论证，可又找不出来，这样的证明有问题么？

a为什么一定是一个实数，在此已经假设了实数的完备性了。

找茬很简单，实数和有理数就差一个完备化，将这个证明放到有理数上就可以看出问题了。