为什么称戴德金定理为实数的连续性定理？

3 个回答

翔誉

曾经学过一点点数学/量子信息

先回答题主的问题，再做简单的介绍。

Q:为什么称戴德金定理为实数的连续性定理？

A:实数定义的方式有很多，常见的有Dedekind构造，Cantor构造和无尽小数构造。在讲连续性（准确来说是完备性，complete）定理之前，我们应该先确定使用的是哪一种构造。

如果使用的不是Dedekind构造，那么我们称Dedekind定理刻画了实数的完备性，因为这个定理的成立依赖于实数的完备性，它在有理数域上并不成立（比如，我们考虑由不等式

与

分别确定的两个有理数集合，左边集合没有最大值，右边集合没有最小值，但它们覆盖了整个有理数域）。

如果使用的是Dedekind构造，我们则应该称这些文字为定义而非定理（它作为定义和定理时的表述稍有不同），它实际上给出了实数的一个构造，我们通过这个构造得到了实数，进而得以刻画其完备性。

Q:实数完备性六大基本定理中为什么没有戴德金定理？

A:六大基本定理只是个笼统的叫法，我们只是从历史上学者们得到的若干描述实数系完备性的定理挑了六个而已。至于它们包不包含Dedekind，为什么常见的系统不包含Dedekind，这是一个无聊的问题。

Q:数学分析中，戴德金定理处于处于什么样地位？

A:一般地，我们将它作为对实数的构造。

Q:实数完备性是不是还有其他的定理？

A:是的。随便举一些：单调有界，闭区间套，有限覆盖，聚点定理，Cauchy审敛，致密定理，确界原理。

在历史上，微积分的基础不严谨一直是被人诟病的一点，对于先有极限还是先有实数，人们一直争论不休。现在我们一般认同如下的构造顺序：

自然数（Peano公理）—整数环（环公理）—有理数域（域公理）—构造—实数域（从实数的构造中，我们抽像出了实数公理）—实数列的极限

其中构造一词，在Dedekind构造中是通过定义分割进行的，在Cantor构造中是通过定义有理数列的极限进行的，在无尽小数构造中是通过定义无尽小数进行的，其中前两种是我们普遍使用的构造方式。

定义（Dedekind实数）：设Q是全体有理数的集合，X是Q的一个子集，如果X满足以下三个条件：

i）X

Q且X不为空

ii）若

，则

iii)若

,则必有

，使得

则称X是一个实数

按照这个定义，一个实数实际上是有理数的一个子集，这个子集没有最大数，其边界即为我们通常认为的实数。我们可以证明，这个构造和Cantor的构造是同构的，还可以用这个定义去证明那六个实数系基本定理，因为这个定义提供了完备性。

至此我们便可以抽象出实数的公理系统：

1.域公理

2.全序公理

3.阿基米德公理

4.完备性公理（有上界非空集合必有上确界）

这些公理又牵扯到一系列定义，我们这里就不再赘述了。

编辑于 2016-12-23

匿名用户

一，戴德金定理与其他6个定理等价。可以很容易地用戴德金定理证明单调有界定理和区间套定理，也可以用单调有界定理证明戴德金定理。（参考《数学分析简明教程（第二版）》上册，作者邓东皋，尹小玲）

戴德金定理很直观地刻画了实数连续性，用戴德金自己的话说：把数系分割成左右两部分，必有唯一的分点（数）。

二，所谓六大定理，在此之前我并不知道，我所接触的数学分析书籍也并没有称之为六大定理。（也可能是我孤陋寡味）

三，数学分析中，戴德金定理处在很基础的位置。因为戴德金定理的证明几乎可以说只用了实数的定义。

学习数学分析，肯定要一开始就讲极限，其他6个定理的表述都要用到极限，更别说证明了。但是极限又必须建立在实数域上。要讲实数域，就必然需要证明其完备性和连续性。这是个鸡生蛋，蛋生鸡的问题。到底是先讲极限，还是先讲实数域？极限必须建立在实数域上，实数域连续性的证明又要用到极限。

这时候，大多数教材的处理是，先讲极限（此时的极限理论并没有建立在有力的实数理论之上），然后证明一些定理（就比如你所说的6大定理），之后反过来证明实数的完备性，连续性。

然而，我所学的教材就比较有智慧了。先在绪论中证明戴德金定理，从而有了连续统的概念，之后引入极限。因为戴德金定理的证明不需要极限的概念，所以就没有这些逻辑上的问题。