带宽（上）

内容提要

1、带宽相关概念

2、特征频率fT

3、带宽和上升时间乘积

4、理想方波

5、开路（短路）时间常数法

6、级联系统的带宽计算和优值

7、带宽提升方法

        相信每一个电子工程师，不管是做芯片、板级还是做应用，都或多或少地接触到“带宽”的概念。尽管如此还是在学习和工作实践中会遇到或多或少的迷惑，这个专题，我试着把和“带宽”相关的内容做个再学习和总结，希望自己能够通过这个内容，温故而知新。

Part1

提到带宽，通常会有使用到不同的前缀定义，面对这些概念，很多初学者会傻傻分不清。比如-3dB带宽，单位增益带宽，开环带宽，闭环带宽，增益带宽积等。因此在说明时，为避免歧义，一定要描述清楚。当然大部分时候，带宽会特指+/-3dB带宽（简称为3dB带宽，或称之截止频率）。后续本文中如无特殊说明，带宽就特指的3dB带宽。

我们都知道对于LTI系统，通常会用波特图来表征该系统的频率特性，分为幅度和相位特性，如图1所示，对于经过一个低通系统的输入信号，当输出幅度降为原来的0.707倍（√2/2）时，其信号功率仅剩为原来的一半。而0.707倍的对数坐标表示就是常说的-3dB位置，可见这还是从信号功率（或能量）的角度来定义的。

图1

对于放大器来说，有时还会用单位增益带宽（fu）来表示当增益降低到1时的频率。对于单极点系统，fu和GBW相等，但是对于多极点的情况，fu通常是小于GBW。

在使用时，经常容易混淆的两个概念其实就是单位增益和-3dB带宽。是和系统的应用方式相关的，有个经验准则，就是开环看3dB带宽，闭环看单位增益带宽。

Part2

在表征器件高频特性时，经常会使用特征频率fT(transit frequency)这个概念，通常定义为当器件的输出短路小信号电流增益下降为1时的频率。以MOS器件为例，其包含了Cgs、Cgd、Cdb、Cds等诸多寄生电容。其小信号模型如图2所示。

图2

可以计算其电流增益的表达式，并且得到特征频率的影响因素如图3。

图3

当电流增益降为1时，对应的特征角频率约等于gm/Cgs，可以进一步看到通过提高过驱动电压，降低沟道长度和使用更高迁移率的工艺得到更高的特征频率，从而实现更高速的应用。

图4

当然这和高增益设计时对过驱动电压和沟道的要求是相反的，也就是高速和高增益设计存在的矛盾。因此在实现高增益宽带放大器时，我们会采用级联方式。

Part3

带宽毕竟是个频域概念，为了方便，希望从时域的角度，评估系统的带宽。我们经常会用到如图5的经验公式，该公式阐述了系统的-3dB带宽对阶跃响应的上升时间的影响和相互关系。上升时间tr定义为阶跃输出信号经过10%~90%最大幅度所需的时间。在大多数情况下，可通过这种方式方便地评估或验证系统的带宽。

这个结论可以简单地从一阶系统的阶跃响应推导得到，如图5所示。

图5

那这个经验公式是否适用于二阶系统的情况那？

这可以通过二阶系统的阶跃响应和带宽计算得到。关于二阶系统的阶跃响应形式可参见前文温故而知新之二阶系统（中）的描述。这里就不给计算过程了（欠阻尼情况下，需要解超越方程，只能得到数值解）。直接上结果如图6所示。

容易观察到随着阻尼系数下降，乘积会下降，存在误差。但当阻尼系数大于0.5时，该经验公式最大误差约为5%。注意，当阻尼系数小于1时，上升时间tr定为稳态幅值的10%于首次到达稳态90%的时间差。

图6

Part4

下边回顾一下方波信号的特性，如图7所示。理想方波周期假定为1，占空比为50%，峰峰值为A。其离散频谱仅包含DC量和谐波成分，偶次谐波幅度都为0。奇数谐波（n=1、3、5...）的幅度可以表示为2A/(n*pi)。各谐波的初始相位相等。

图7

还能看到一个有意思的现象，就是所有奇次谐波在t=0处的信号有着最大的信号摆率（直觉上可能错误的理解，高频谐波的信号变化更快，摆率更大），且都相同。这点可以在动图8中观察到。

图8

将图8中各谐波成分叠加，叠加后的波形会逼近理想方波如图9所示。我们知道理想方波的上升时间为0，谐波成分的叠加过程中，其上升时间也在逐渐减小。但现实中大部分的系统都表现出了低通特性。也就是带宽外的频率成分被严重衰减，也可以理解为图8仅有限n次谐波分量的叠加和。表现在时域就是信号的“沿”变“缓”，也就是上升时间会增加。

    

图9

那么就有一个问题，如果我们想要发送一个Clock Pattern的信号，驱动器（Driver）的带宽需要设置在哪个位置？

如图10所示，可以看到，根据不同的上升时间要求，可以估算出驱动器的带宽的要求。

图10

同样我们在使用示波器测量信号时，一个重要的问题就是到底该选择多大带宽？对于传统模拟示波器，常说的被测信号最大大频率3倍~5倍带宽，也基本上就是上述求驱动器带宽相同的思路。

现代高速数字示波器是个系统工程，能够做到高带宽，离不开高速ADC，而这些可能会用到砷化镓或磷化铟工艺。并且在过渡带能够做到更快的频率滚降，越来越接近理想矩形滤波器，因此带宽和测量信号的比例关系也会下降。

图11是使用过的一个高速示波器，带宽33GHz，最大采样率80GSa/s。查了下价格，真的是贵贵贵~

图11

这一期的内容就先到这里啦，后续接着总结。下期见哟~