一元二次方程的根的判别式 菱形的判定、正方形的性质  

  代数：一元二次方程的根的判别式

    几何：菱形的判定、正方形的性质

 

二. 重点、难点：

  1. 重点：

    代数：一元二次方程根的判别式。

    几何：菱形的判定，正方形的性质。

  2. 难点：

    代数：根的判别式△与一元二次方程根的关系；

          一元一次方程与一元二次方程的综合习题。

    几何：菱形的判定、正方形的性质的应用。

 

［知识要点］

（一）代数

    一元二次方程的根的判别式与根的关系：

    一元二次方程

    （1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

    （2）当△＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；

    （3）当△＜0时，没有实数根。

（二）几何

  1. 菱形的性质：

    （1）四条边相等；

    （2）对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

  2. 菱形的判定：

    （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形。

    （2）四边都相等的四边形。

    （3）对角线互相垂直的平行四边形。

  3. 正方形：

    （1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。

    （2）性质：

   

 

【典型例题】

  例1. 不解方程，判断下列方程根的情况：

    （1）

    （2）

    （3）

    解：（1）

    ∴原方程有两个不相等的实数根

    （2）

    ∴原方程有两个相等的实数根

    （3）

    ∴原方程有两个相等的实数根

 

  例2. （2003，辽宁）关于x的方程

有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

    解：

    ∵有不相等的实数根，∴△＞0

    即

   

 

  例3. （2003，湖北）已知一直角三角形的三边a、b、c，∠B＝90°，那么关于x的方程

根的情况？

    解：由

整理，得：

   

     

    ∵∠B＝90°

   

    ∴原方程有两个相等的实数根

 

  例4. 已知：矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，经过AC的中点O的直线垂直于AC，分别交BC于E，交AD于F。

    （1）试判断四边形AECF的形状，并证明你的结论。

    （2）求EF的长及四边形AECF的面积。

    解：（1）证明：四边形AECF为菱形

    ∵矩形ABCD

    ∴AF∥EC，AO＝CO

    ∴△AOF≌△COE

    ∴AF＝EC

    ∴四边形AECF为平行四边形

    又AC⊥EF

    ∴平行四边形AECF为菱形

    （2）设

，则

，则

    在

中，由勾股定理，得：

   

    在

中，

   

   

    又

   

 

  例5. 在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果

，求EF＋EG。

    解：∵正方形ABCD

    ∴AC⊥BD

    又EG⊥BD

    ∴AC∥EG

    同理，EF∥BD

    ∴四边形EFOG是平行四边形

    ∴EF＝OG

    又BD平分∠ABC

    ∴∠1＝45°

    在

中，∠1＝45°

    ∴∠2＝45°

    ∴BG＝EG

   

    在

中，

    由勾股定理得：

   

   

 

【模拟试题】（答题时间：20分钟）

  1. k为何值时，方程

    （1）有两个不相等的实数根？

    （2）有两个相等的实数根？

    （3）没有实数根。

  2. 已知a、b、c是三角形的三边，判别方程

的根的情况。

  3. 如图：

    在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，交AD于M，EF⊥BC于F。

    求证：四边形AEFM是菱形。

 

【试题答案】

  1. （1）

    （2）

    （3）

  2. 提示：

    ∴无实数根

  3. 提示：由角平分线性质证出AE＝EF

    再证△AEM≌△FEM

    再由平行证得：

    即可证得四边形AEFM为菱形