梯形、梯形中位线、三角形中位线、平行线等分线段定理及其2个推论  

梯形、梯形中位线、三角形中位线、平行线等分线段定理及其2个推论

 

二. 重点、难点：

  1. 重点：

    等腰梯形的性质及判定，平行线等分线段定理的2个推论的应用，三角形、梯形中位线定理的应用。

  2. 难点：

    等腰梯形性质的综合应用，平行线等分线段定理的2个推论的应用，三角形、梯形中位线定理的综合应用。

 

三. 知识结构

   

   

   

   

   

 

【典型例题】

  例1. 已知一个等腰梯形的高是2m，它的中位线长是5m，一个底角是45°，求这个梯形的面积和上、下底边的长。

    解：如图，AD、BC分别为上下底，AB＝CD，∠B＝45°

    过A、D分别作AE、DF垂直于BC，垂足分别为E、F，则AE、DF均为梯形的高

    ∴AE＝DF＝2m

    在Rt△ABE中，∵∠B＝45°

    ∴∠BAE＝90°－∠B＝45°

    ∴BE＝AE＝2m

    同理：CF＝2m

    设AD＝x，则EF＝x

   

    又中位线长是5m，∴

   

    ∴上底AD＝3m，下底

    梯形的面积

    答：梯形的面积为

，上底为3m，下底为7m。

 

  例2. 如图，在△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且AE＝2CE，BE、CD交于点F，又知BE＝8，求EF的长。

    解：过点D作DM∥AC

    ∵D是AB中点

    ∴M为BE中点

   

    又AE＝2CE，即

    ∴DM＝CE

    ∴△DMF≌△CEF（AAS）

    ∴MF＝EF

   

    答：EF的长为2。

 

  例3. （2004北京海淀中考）

    如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝120°，

，求梯形的面积。

    解：∵∠A＝120°，AD∥BC

    ∴∠ABC＝60°

    又BD平分∠ABC

    ∴∠ABD＝∠CBD＝30°

    又AD∥BC

    ∴∠ADB＝∠DBC＝30°

    在△ABD中，∠ABD＝30°，∠ADB＝30°

    ∴AB＝AD

    过点A作AE⊥BD于E

    则E为BD中点

   

    在Rt△ABE中，设

，则

    由勾股定理，得：

   

，即AE＝2

    

    在△BCD中，过点D作DF⊥BC于F

    ∵∠DBF＝30°

   

    答：梯形ABCD的面积为

。

 

  例4. （上海2004中考）

    如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD＝2，BC＝8，求BE的长。

    解：∵EF为折痕，B、D重合

    ∴EF⊥BD，BO＝DO，BE＝DE

    在Rt△BOE中，∠OBE＝45°

    ∴∠OEB＝45°

    ∵△BOE≌△DOE

    ∴∠OED＝45°

    ∴∠DEB＝∠DEO＋∠OEB＝45°＋45°＝90°

    ∴DE⊥BC

    过点A作AG⊥BC于G

    可证△ABG≌△DCE（HL）

   

    答：BE的长为5。

 

【模拟试题】（答题时间：20分钟）

  1. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠A：∠B＝3：1，则∠A＝_________，∠B＝_________。

  2. 三角形的周长为112cm，三角形三条中位线的比为3：5：6，求三条中位线的长。

  3. 等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝10，∠DAB＝60°，求梯形的面积。

  4. （黑龙江2004中考）

    若等腰梯形的三边长分别为3、4、11，则这个等腰梯形的周长为___________。

  5. （昆明2004中考）

    已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，点E是BC边的中点。

    求证：AE＝DE

 

【试题答案】

  1. 135°，45°

  2. 12cm，20cm，24cm

  3.

  4. 29

  5. 证明略