换元法解分式方程及分式方程应用题 尺规作图  

 

代数：换元法解分式方程及分式方程应用题

    几何：尺规作图

 

学习目标：

    代数：掌握换元法解分式方程及应用

    几何：掌握4种基本作图，会作一些简单的作图题

 

二. 重点、难点

    重点：

    代数：换元法解分式方程

    几何：掌握4种基本作图

 

    难点：

    代数：换元法：列等量关系

    几何：作图语言

 

三. 知识要点

    代数：换元法解分式方程步骤：

    （1）设另一未知数

    （2）写出符合原方程式的变形方程

    （3）解新方程，求得未知字母的值

    （4）求原方程未知数的值

    （5）验根

    几何：基本作图

    注意：每一步要有根有据。

 

【典型例题】

    例1. 解方程：

（吉林省中考题）

    分析：可把

看作未知量y，解含有y的整式方程。

    解：设

    即

   

    （1）

    方程两边同乘以

，得

    整理，得

    把

代入

，得

   

    （2）

    方程两边同乘以

，得

    整理，得

    把

   

    综上，原方程

的根为

。

 

    例2. （甘肃省中考题）

    一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3元，求原来这组学生的人数。

    分析：设原来这组学生的人数为x

    原来每人分摊的费用为

    有2个人参加进来后每人分摊的费用为

    等量关系：分摊的费用。

    解：设原来这组学生的人数为x

    则

    方程两边同乘以

，得

    整理，得

    解之得

    ∵人数是正整数

    ∴x=-10舍去。

    把

   

是方程

    答：原来这组学生的人数是8人。

 

    例3. 作一个已知锐角的一半的余角

    已知：锐角AOB

    求作：

的一半的余角

    作法：

  1. 作

  2. 反向延长O’B’得O’C’

  3. 平分角A’O’C

  4.

即为所求角

 

    例4. 已知斜边，一直角边作直角三角形

    已知：线段

    求作：以a为直角边，以c为斜边的直角三角形

    作法：

  1. 作

  2. 在射线CM上作CA=a

  3. 以A为圆心，C为半径画弧交CN于点B，连结AB。

  4. △ABC即为所求三角形。

 

【模拟试题】（答题时间：20分钟）

  1. 用换元法解分式方程

，如果设

，那么原方程可化为_______________。

  2. 用换元法解方程

，设

，则原方程可化为_______。

  3. 用换元法解方程

，设

，则原方程可化为_________。

  4. 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。

  5. 已知三角形的一边，这条边上的中线与高，求作这个三角形。

【试题答案】

  1.

                       2.

                       3.

  4. 已知：腰

    底边上的高

    求作：以a为腰，以h为底边高的等腰三角形

    作法：（1）作直线PQ

    （2）作直线PQ的垂线MN交PQ于D

    （3）在DP上作DA=h

    （4）以A为顶点，以a为半径画弧交MN于B、C两点

    （5）连结AB、AC，△ABC即为所求

  5. 已知：边长a

    该边中线m

    该边高h

    求作：该三角形

    作法：

    （1）作直线PQ

    （2）作直线PQ的垂线MN，交PQ于D点

    （3）在DP上作DA=h

    （4）以A为圆心，以m为半径画弧交MN于E，连结AE。

    （5）作线段A’B’=a

    （6）作A’B’的垂直平分线交A’B’于C’

    （7）以E为圆心，以A’C’为半径画弧交MN于B、C两点

    （8）连结AB、AC，△ABC即为所求。