几何：等腰三角形的复习课
［学习目标］
代数：能够计算且用符号表示一个数的平方根、算术平方根、立方根；了解实数的分类及无理数的意义。
几何：能够综合运用等腰三角形性质定理，判定定理及其推论解题。
二. 重点、难点：
1. 重点：
代数：平方根，算术平方根，立方根，及实数分类。
几何：判定定理，性质定理，推论的综合应用。
2. 难点：
代数：平方根，立方根的区别与联系；无理数的意义。
几何：判定定理，性质定理，推论的综合应用。
三. 知识要点：
［代数］
1. 平方根
2. 立方根
3. 实数
无理数：并不全是根号开不尽的数，例如：。
［几何］
【典型例题】
例1. 填空：
（1）在实数中，有理数有________________；无理数有________________。
（2）两个无理数的和、差、积、商一定是________________。
（3）的算术平方根________________。
（4），则________________。
（5）如果的整数部分为a，小数部分是b，则a=__________，b=__________。
解：（1）本题考察的是有理数、无理数的概念。
有理数：，其余为无理数。
（2）本题考察的是实数的运算，应填：实数。
（3）本题考察的是算术平方根的概念，应填：。
（4）本题考察的是平方根的概念：
（5）本题考察的是无理数的大小问题。
的整数部分，小数部分
例2. 已知，求的值。
分析：本题考察的是实数的绝对值的意义。
∴有4种可能
（1）
（2）
（3）
（4）
例3. 已知：B、C、E在同一直线上，△ABC、△DEC是等边三角形，BD交AC于Q，AE交CD于P，求证：
（1）BD＝AE；
（2）△CPQ是等边三角形；
（3）PQ∥BC。
分析：（1）证BD、AE所在的△BDC和△AEC全等。
（2）可证CQ＝PC，可通过证△CEP与△CQD全等来证。
（3）由△PCQ为等边三角形可得∠QPC＝60°，可通过内错角相等来证PQ∥BC。
证明：（1）∵△ABC，△DEC为等边三角形
∴∠ACB＝∠DCE＝60°
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD＝AE（全等三角形的对应边相等）
（2）由（1）∠CDQ＝∠CEP（全等三角形的对应角相等）
∵∠BCE＝180°
∴∠QCP＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－60°－60°＝60°
在△CDQ和△CEP中，
∴△CDQ≌△CEP（ASA）
∴CQ＝CP（全等三角形对应边相等）
在△PCQ中，∠PCQ＝60°
∴△PCQ为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
（3）∵△CPQ是等边三角形
∴∠PQC＝60°（等边三角形的每一个角都是60°）
∴∠PQC＝∠BCQ
∴PQ∥BC（内错角相等，两直线平行）
例4. 如图：AB＝AC，BC∥DE，AD、AE分别交BC于点G、H，∠ADE＝∠AED。
求证：BG＝CH
证明：∵BC∥DE
∴∠1＝∠ADE（两直线平行，同位角相等）
同理，∠2＝∠AED
又∠ADE＝∠AED
∴∠1＝∠2（等量代换）
∴AG＝AH（等角对等边）
过点A作等腰三角形ABC底边的高线AO
∴BO＝CO（等腰三角形底边的高与底边的中线重合）
∵AO⊥GH
∴GO＝OH（同上）
∴BG＝CH（等量代换）
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 填空。
1. 在实数中，无理数为__________。
2. 点A在数轴上与1相距个单位，则点A表示的实数为__________。
3. 的平方根__________；算术平方根__________。
4. 的整数部分是__________，小数部分是__________。
二. 求值。
1. 已知，求的算术平方根、立方根。
2. 已知a是5的算术平方根，求不等式的正整数解。
三. 证明题。
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于E点，交BC于F点。
求证：CF＝2BF
【试题答案】
一. 填空。
1.
2. 或
3.
4. 2，
二. 求值。
1. 提示：
的算术平方根为，立方根为
2. 提示：由得：
三. 证明题。
提示：连结AF
由EF垂直平分AB，可得：
AF＝BF，∠EAF＝∠B
∵∠BAC＝120°，AB＝AC
∴∠B＝∠C＝30°
∴∠EAF＝30°
从而∠FAC＝90°
在Rt△ACF中，，从而CF＝2BF
联系客服
