二元二次方程组   

二元二次方程组

 

学习目标：

  1. 弄清二元二次方程组的概念及类型

    （1）含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程。

    其一般式：

    （a，b，c不同为0）

    （2）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，叫“一二型二元二次方程组”

    一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组，叫“二二可分型方程组”

  2. 掌握解二元二次方程组的基本思路：降次，消元。

  3. 熟练求解二元二次方程组的步骤

  4. 能使方程组中两方程都成立的未知数的值，叫方程组的解，二元二次方程组解的个数不定，至多有四组解。

  5. 对于形如

的方程组，可通过构造以x，y为根的方程

，达到消元目的。

 

二. 重点与难点：

  1. 重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，重点掌握方程组的解法。

  2. 难点：降次、消元的方法是解题的难点。

 

【典型例题】

    例1. 解方程组

    解：解法1：由

    （3）代入（2）

   

   

    代入（3）中，

    ∴原方程组的解是

    解法2：由（2）

   

    ∴原方程组可化为

    ∴原方程的解是

    点拨：解法1代入消元法，先消元，再把方程组转化为一元二次方程；解法2分解因式法，先降次，再把方程组转化为两个二元一次方程组。两种解法，各有千秋，但都体现了——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题。

 

    例2. 解方程（1）

    解：（1）解法1：由（1）

（3）代入（2）得

   

    解法2：由韦达定理知x，y分别是方程

的两实根

   

    （2）解法1：由（2）得

    把（3）代入（1）

   

    把

   

    ∴原方程组的解是

    解法2：（2）式两边平方

   

    由（2）（5）知x，y是方程

的两实根

   

    ∴原方程组解为

    解法3：（2）式两边平方减去（1），得

   

   

    原方程组可化为

   

    分别解（I）（II）得

    此即为原方程组的解。

    点拨：（1）题形如

的方程组，可用代入法，也可根据一元二次方程根系关系，构造方程来解。

    （2）中，对换x，y，原方程组不变。这类方程组叫对称式方程组，解法2与3是这类方程组的常见求解技巧。

 

    例3. 解方程组

    （1）

    （2）

    解：（1）由②

   

    原方程组可化为

    分别解这两个方程组，得原方程组解为

   

    （2）由①

    由②

，即

    于是原方程组可化为以下四个一次方程组

   

    点拨：（1）中，方程②左边可分解为两个一次因式的积，右边为0，于是方程②可化为两个二元一次方程，再分别与方程①组成一二型方程组，代入法求解。

    （2）中两个方程均可分解为两个一次方程时，那么原方程组可化为四个一次方程组求解。

 

    例4.

解方程组

    解：由（1）

    设

    则原方程组可化为

   

    从而得

    解（I）（II）得

    ∴原方程组的解为

    点拨：此例中的方程组，是关于x，y的对称方程组，称

为关于x，y的基本对称方程组，通过换元法可将二二型转化为一二型求解。

 

    例5. 解方程

    分析：仔细观察题目结构特点知

，非负数和为零只能分别为0。

    解：原方程与方程组

    由（1）

    由（2）

   

是原方程的解

    点拨：运用转化思想，把方程转化为方程组是本题的特点，较深刻地反映了知识之间的联系。

 

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

一. 选择题

  1. 方程组

的解有_____________组。

    A. 1               B. 2               C. 3               D. 4

  2. 若方程组

有两组相同的实根，则m=_______________。

    A. 1               B. 2               C. 3               D. 4

  3. 方程组

的解的组数____________。

    A. 2               B. 3               C. 4               D. 1

  4. 方程组

的解的组数（    ）

    A. 2               B. 3               C. 4               D. 1

  5. 和为1，积为

的两个数是________________。

    A. 1与0                      B.

与4

    C. 3与

                   D. 2与

 

二. 填空题

  6. 若

____________。

  7. 方程组

的解是________________。

  8. 方程组

的解是_______________。

  9. 方程组

的解是_________________。

 

三. 解答题：求解下列方程组

  10.

  11.

  12.

  13.

 

【试题答案】

一. 选择题

  1. D                  2. B               3. C               4. A               5. B

 

二. 填空题

  6. 6

  7.

  8.

  9.

 

三. 解答题

  10. 解：

    由（1）

（3）代入（2）

   

    把

分别代入（3）

    ∴原方程组的解是

 

  11. 解：

    根据韦达定理，x，y是方程

的两根

   

   

   

 

  12. 解：

    由（1）

    原方程组可化为

   

    解（I）（II）知原方程组的解为

   

 

  13. 解：

    由（1）

   

   

    原方程组可化为

   

    分别解得知原方程组的解是

   

 

【励志故事】

学学乔丹的爱国

篮球上帝乔丹在日前的中国之行中，拒绝乘坐主办方为他提供的奔驰、宝马，而是点名要了美国的道奇山羊。原来乔丹有一条重要的商业原则，那就是“做广告从来只做美国货”，所以，座驾事件与“爱国精神”息息相关。

从某种意义上说，球场外的乔丹给崇拜他的那些青少年们上着很好的思想品德教育课，这才是一个“星”真正的道德良知和社会责任。相反，我们的各种“星”们，同样作为青少年们顶礼膜拜的偶像，他们的表现又如何呢？我们知道有的歌星歌唱得不怎么样，却热衷于把奇形怪态遁入极端；有些影星表演够差，却总走不出绯闻缠身的怪圈；还有那些所谓的足球明星，球踢得极烂，可酗酒、打架等丑闻从来不绝于耳。在未成年人思想道德建设方面，我们的“星”们有着不可推卸的社会责任，从这个角度来说，是不是应该好好学学人家乔丹呢？