直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角

 

二. 本周教学重、难点：

1. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，了解三垂线定理及其逆定理，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。

2. 掌握直线与平面、平面与平面所成角的概念和作法，并会计算所求角的大小。

 

【典型例题】

[例1] 如图所示，在棱长为

的正方体

中，E、F分别是棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G。

（1）求二面角

的大小；

（2）M为棱

上的一点，当

的值为多少时，能使

平面EFB₁？请给出证明。

解：（1）在底面AC中    ∵ AC⊥BD，EF//AC

∴ BG⊥EF，连结B₁G   又 ∵ B₁B⊥底面AC    ∴ B₁G⊥EF

是二面角

的平面角

  

∴ 二面角

的正切值为

∴ 二面角

的大小为

（2）当

时能使

平面EFB₁

证明如下：

面AB₁，知D₁M在面AB₁的射影是A₁M

∵

    ∴

而

     ∴

∴

，因此

   同理，

∴

平面EFB₁

 

[例2] 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，

。求证：MN⊥CD，MN⊥平面PCD。

证明：连结AC、BD交于O，连结OM、ON、PM、MC

则NO//PA，又PA⊥平面ABCD

∴ NO⊥平面ABCD     ∴ NO⊥CD，又MO⊥CD

∴ CD⊥平面MON    ∴ CD⊥MN

在

中，

    ∴ PA=AD

又 ∵ AM=BM，PA⊥AM，BC⊥BM   ∴

∴ PM=MC    ∵ N为PC的中点    ∴ MN⊥PC

又

   ∴ MN⊥平面PCD

 

[例3] 如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=

，AD=BC=

，

，

，将其沿对角线BD折成直二面角。

（1）证明AB⊥平面BCD；

（2）证明平面ACD⊥平面ABD；

（3）求二面角

的大小。

解析：（1）证明：在

中，由余弦定理，得

∴

∴

又 ∵ 二面角

为直二面角，

平面ABD，DB=平面

平面BDC

∴ AB⊥平面BDC

（2）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ DC⊥BD   ∵ AB⊥平面BDC，AB

平面ABD

∴ 平面ABD⊥平面BDC

又 ∵ BD=平面

平面BDC，DC

平面BDC，DC⊥平面ABD

又 ∵ DC

平面ADC    ∴ 平面ADC⊥平面ABD

（3）作BQ⊥CE于Q，由平面几何知识，得

连结AQ，由三垂线定理，AQ⊥CE    ∴

是二面角

的平面角

在

中，

∴

   即二面角

的大小为

 

[例4] 如图所示，ABCD是正四面体，E、F分别是BC和AD的中点，求：

（1）AE与CF所成的角；

（2）CF与平面BCD所成的角。

解：（1）如图，连结DE，取ED的中点K，连结FK、CK

∵ F是AD的中点    

∴ AE//FK   则

为异面直线AE与CF所成的角（或其补角）

设正四面体棱长为

，则可得

在

中，

∴在

中，

∴

，即异面直线AE和CF所成角为

（2）在正四面体ABCD中，∵ 各棱长都相等，E是BC的中点

∴ BC⊥AE，BC⊥DE    ∴ BC⊥面AED   ∴ 面ADE⊥面BCD，交线为DE

过A作AO⊥DE于O，则AO⊥面BCD

过F作FH⊥DE于H，则FH⊥面BCD，连结CH

∴

为CF与面BCD所成的角

∵

     ∴

   

故CF与面BCD所成的角为

 

[例5] 在三棱锥

中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB=

，

。

（1）求证：SC⊥平面BDE；

（2）求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小。

解：（1）证明：∵ SA⊥平面ABC，AB、AC、BD

平面ABC

∴ SA⊥AB、SA⊥AC、SA⊥BD    ∴

∵

   ∴ SB=BC    ∵ E为SC的中点    ∴ BF⊥SC

又 DE⊥SC    ∴ SC⊥平面BDE

（2）由（1）的结论及

平面BDE，得BD⊥SC，再由①得BD⊥平面SAC，而CD、DE

平面SAC，∴ BD⊥CD、BD⊥DE

∴

为平面BDE与平面BDC所成的二面角的平面角

由AB⊥BC，得

在

中，

∴

    ∴

 

[例6] 如图所示，矩形ABCD中，PD⊥平面ABCD，若PB=2，PB与平面PCD所成的角为

，PB与平面ABD成

角。

（1）求CD的长；

（2）求PB与CD所成的角；

（3）求二面角

的余弦值。

解：（1）∵ PD⊥平面ABCD   ∴ PD⊥BC  又 BC⊥DC   

∴ BC⊥平面PDC    ∴

为PB与平面PCD所成的角，即

同理，

即为PB与平面ABD所成的角

∴

    在

中，∵ PB=2   ∴ BC=PC=

在

中，

    ∴ PD=1，BD=

在

中，

    ∴ CD=1

（2）∵ AB//CD    ∴ PB与CD所成的角即为PB与AB所成的角，

即为PB与AB所成的角。

∵ PD⊥平面ABCD，AD⊥AB    ∴ PA⊥AB

在

中，AB=CD=1，PB=2   ∴

（3）由点C向BD作垂线，垂足为E，由点E向PB作垂线，垂足为F，连结CF

∵ PD⊥平面ABCD    ∴ PD⊥CE   又 CE⊥BD    ∴ CE⊥平面PBD

CF为平面PBD的斜线，由于EF⊥PB   ∴ PB⊥CF

∵

为二面角

的平面角

在

中，

，DC=1，BD=

∴ CE=

在

中，

    ∴

    ∴

∴ 二面角

的余弦值为

 

[例7] 在长方体

中，

，点E在棱AB上移动。

（1）证明

；

（2）AE等于何值时，二面角

的大小为

？

解：（1）证明：∵ AD=AA₁    ∴ 四边形ADD₁A₁为正方形

故

   又

为长方体

∴ AB⊥平面AA₁D₁D   又

平面AA₁D₁D   ∴ AB⊥A₁D 

又

平面

   

平面

∴

平面AD₁B，又

平面

   ∴

（2）过D作DH⊥CE于H，连结D₁H

由于D₁D⊥平面ABCD，EC

平面ABCD    ∴

故

平面

，又

平面

，则

∴

为二面角

的平面角

设

，则

   在

中，∵

   ∴ DH=1

∵ 在

中，

∴ 在

中，

，在

中，

在

中，

∴

∴ AE

时，二面角

的大小为

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 在正方形

中，E、F分别是

、

的中点，如图所示，现沿着AE、AF、EF把这个正方形折成四面体，若

三点重合，重合后的点记为B，那么四面体AEFB中必有（    ）

A. AB⊥平面EFB                B. AD⊥平面EFB

C. BF⊥平面AEF                D. BD⊥平面AEF

2. 空间四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH为（    ）

    A. 平行四边形    B. 菱形    C. 矩形    D. 不能确定

3. 已知直线

与平面

满足

，那么必定有（    ）

A.

且

                           B.

且

C.

且

                           D.

且

4. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（    ）

A.

    B.

    C.

    D.

5. 在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I分别为DE、FC、EF的中点，将

沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，BG与IH所成的角为（    ）

A.

    B.

    C.

    D.

6. PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为

，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

7. 如图P是二面角

棱上的一点，分别在

平面上引射线PM、PN，如果

，

，那么二面角

的大小为（    ）

A.

    B.

    C.

    D.

  8. 如图，在正三棱柱

中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD与平面AA₁C₁C所成的角为

，则

等于（    ）

A.

    B.

    C.

    D.

 

二. 解答题：

1. 在四面体

中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角B—AP—C的大小。

2. 如图甲，在直角梯形PDCB中，PD//CB，CD⊥PD，PD=6，BC=3，DC=

，A是PD的中点，沿AB把平面PAB折起到乙图平面PAB的位置，使二面角

成

角，设E、F分别为AB、PD的中点。

（1）求证：AF//平面PEC；

（2）求二面角

的大小。

3. 如图，四棱锥

的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=

。

（1）求证：

；

（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；

（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。

 

【试题答案】

一.

1. A

    解析：由

⊥面BEF

2. C

    解析：根据三角形中位线定理可得四边形EFGH为平行四边形，又 ∵ AC⊥BD，∴ EF⊥FG，∴ 四边形EFGH为矩形。

3. A

    解析：由已知

，又

，故选A。

4. C

解析：如图，

为侧棱与底面所成的角，∵

，PA=1，∴

5. A

解析：如图，

折成三棱锥后，A、B、C重合于B，∵ BE//IH，∴

为BG与IH所成的角为

6. C

解析：过C作平面PAB的垂线，则垂足O在

的平分线上，作OB⊥PB，OA⊥PA，由三垂线定理得CB⊥PB，CA⊥PA。

设PC=

，则PA=PB=

   在

中，

∴

7. D

解析：不妨设PM=PN=

，∵

∴

    ∴ E、F两点重合为C    ∵

MN=

，且

∴

，即二面角

的平面角为

8. D

解析：本题考查直线与平面所成的角，如图，E、O为B、D在平面A₁C上的射影，则

即为所求。易知

=

，AD=

，则

 

二.

1. 解析：过点B作BE⊥AC于E，过E作EF⊥PA于F，连结BF

∵ PC⊥平面ABC    ∴ BE⊥平面PAC    ∴ BE⊥PA

∴

就是二面角

的平面角

设PC=1，则AB=BC=CA=PC=1    ∴ E为AC的中点

∴

∴

，即

∴ 所求二面角的大小为

2. 解析：（1）证明：取PC的中点，连结FG、EG，则FG//CD，且

∵ AE//CD，且

   ∴

    

从而四边形AEGF为平行四边形     ∴ AF//EG   ∵

平面PEC

∴ AF//平面PEC

（2）∵ CD⊥平面PAD   ∴ 平面PAD⊥平面ABCD

∵ PA=AD，

   ∴

    ∴ PA⊥平面ABCD

∴ PA⊥BC    ∵ BC⊥AB   ∴ BC⊥平面PAB    ∴ BC⊥PB

∴

为二面角

的平面角

在

中，

    ∴

∴ 二面角

大小为

3. 解析：（1）证法一：如图，∵ 底面ABCD是正方形，∴ BC⊥DC  

∵ SD⊥底面ABCD   

∴ DC是SC在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得BC⊥SC

证法二：如图所示

∵ 底面ABCD是正方形    ∴ BC⊥CD    ∵ SD⊥底面ABCD   ∴ SD⊥BC

又

    ∴

平面SDC    又 SC

平面SDC    ∴ BC⊥SC

（2）方法一：∵ SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形

∴ 可以把四棱锥S—ABCD补形为长方体

，如图所示，面ASD与面BSC所成的二面角就是面

与面

所成的二面角

∵ SC⊥BC，BC//A₁S    ∴ SC⊥A₁S，又 SD⊥A₁S

∴

为所求二面角的平面角

在

中，由勾股定理得

，在

中，由勾股定理得SD=1

∴

，即面ASD与面BSC所成的二面角为

方法二：如图所示，过点S作直线

，∴

在面ASD上

∵ 底面ABCD为正方形   ∴

   ∴

在面BSC上

∴

为面ASD与面BSC的交线    ∵ SD⊥AD，BC⊥SC

∴

    ∴

为面ASD与面BSC所成二面角的平面角（以下同方法一）

（3）如图所示，取AB中点P，连结MP、DP

在

中，由中位线定理得MP//SB    ∴

是异面直线DM与SB所成的角

∵

   又

∴ 在

中，有

    ∴

∴ 异面直线DM与SB所成的角为