第二章 极限复习

 

二. 教学重、难点：

 

【典型例题】

[例1] 已知

、

的极限存在且满足：

，

，求

。

解：设

∴

    解得

，

∴

 

[例2] 设

是一个三次函数，

，

，求

的值。

解：由题意知：

由

，得

①

由

，得

②

①②联立得

，

     ∴

 

[例3] 设

分别求

，

的值。

存在吗？

解：

∵

∴

   

∴

∵

      ∴

不存在

 

[例4] 设

，

，讨论

的连续区间。

解：当

时，

     ∴

当

时，

     ∴

∴ 解析式为

且

，

不存在      ∴ 连续区间为

 

[例5] 用数学归纳法证明

能够被9整除

。

解：（1）当

时，

被9整除

（2）假设

时，

能被9整除，则当

时，

以上两项均能被9整除，故当

时命题也成立

由（1）和（2）知，对任意

命题成立

 

[例6] 已知数列

中，

，

，（1）求

的值；（2）推测

的通项公式，并用数学归纳法证明所得结论。

解：（1）

，

     ∴

     ∴

     ∴

    ∴

    ∴

（2）由

，

，

，

猜想

，下面用数学归纳法证明

① 当

时，结论成立

② 假设

时，结论成立

即

且有

当

时，

  

∴

    ∴

时，结论成立

由①②知，结论对

都成立

 

[例7] 求

解：方法一：∵

 

∴

方法二：

 

[例8] 设数列

满足

，

（1）证明：

对一切正整数

成立；

（2）令

判断

与

的大小，并说明理由。

证：（1）① 当

时，

     ∴ 成立

② 假设

时，

成立

当

时，

∴

时，

成立

∴ 由①②知，

对一切正整数成立

（2）

        

       ∴

 

【模拟试题】

一. 选择题

1.

（    ）

    A. 1        B.

     C. 0        D.

2. 下列极限为1的是（    ）

A.

                   B.

    

C.

                D.

3. 若

展开式的第3项为288，则

的值是（    ）

    A. 2    B. 1    C.

    D.

4. 设

在

处连续，则

的值为（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

5.

的值是（    ）

    A. 0    B.

    C.

    D.

6.

的值是（    ）

    A.

    B. 3    C.

    D. 2

7.

（    ）

    A.

     B. 3    C.

    D.

8. 下列各函数中，在

处不连续的是（    ）

A.

                        B.

C.

              D.

 

二. 解答题：

1. 已知等差数列前三项为

，前

项和为

，

，（1）求

及

的值；（2）求

。

2. 设函数

；

在

处是否有极限？

3. 已知数列

满足

，

。

（1）求证：

（

）

（2）求

，猜想通项公式

，并用数学归纳法证明。

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. B    2. A    3. A    4. C    5. D    6. C   7. A    8. C

 

二.

1. 解：

（1）由已知：

，

，

及

，所以

，所以

，公差

。

由

，得

，所以

，解得

或

（舍去），所以

。

（2）由

，得

，

所以

  

所以

2. 解：当

时，

，所以

；当

时，

，所以

不存在，所以

在

处没有极限。

3.

（1）证明：① 因为

，所以

，又因为

，所以

，且

，所以

，故

时不等式成立

② 假设

时，不等式成立，即

，则

，所以

，

，所以

，所以

时不等式也成立，由①、②知对一切

，

成立。

（2）解：由（1）知

，

计算得

，

，

，猜想：

（

）下面用数学归纳法证明，①

时，

等式成立；② 假设

时，等式成立，即

，即

时，

，所以

时等式也成立，由①、②知，对于一切

，等式都成立。