函数的单调性、函数的极值、函数的最大值和最小值

 

二. 本周教学重、难点：

1. 函数的单调性

设函数

在某个区间内可导

（1）如果

时，则函数

为增函数

（2）如果

时，则函数

为减函数

（3）如果恒有

，则

为常函数

2. 函数的极值

（1）函数极值的概念

（2）判断

是极值的方法

设函数

在点

及其附近可导，且

=0

① 如果

的符号在点

的左右由正变负，则

为函数

的极大值；

② 如果

的符号在点

的左右由负变正，则

为函数

的极小值；

③ 如果

的符号在点

的左右符号不变， 则

不是函数

的极值。

  3. 函数的最值

（1）函数最值的概念

（2）求

在

上最值的方法

① 设

是定义在区间

上的函数，在

内可导，求函数的最值，可分三步进行：

<1> 求函数

在

内的极值；

<2> 求函数

在区间端点的函数值

；

<3> 将函数

的各极值与

比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

② 若函数

在

上单调递增，则

为函数的最小值，

为函数的最大值，若函数

在

上单调递减，则

为函数的最大值，

为函数的最小值。

 

【典型例题】

[例1] 讨论函数

在

内单调性。

解：∵

由

即

   ∴

即函数

在

上单调递增

由

即

   ∴

或

∴

在（0，

）上单调递减，在（

）内也单调递减

 

[例2] 设函数

，其中

，求

的取值范围，使函数

在区间

上是单调函数。

解：

 

∵

   ∴

故当

时，

恒成立，即

时，

在

上单调递减，又当

时，在区间

上存在两点

，满足

，即

，所以函数

在区间

上不是单调函数。

 

[例3] 已知函数

（

且

）在定义域

上是减函数，求

的取值范围。

解：∵

由

得

或

  

∵

   ∴

   又由

∴

   ∴

 

[例4] 已知

，且

，设

，问：是否存在实数

使

在

上是减函数，并且在

上是增函数。

解：由

，得

，得

∴

是连续函数，

由

在

上是减函数，且在

上是增函数

∴

∴

，即存在实数

使

满足条件

 

[例5] 设函数

（其中

）

（1）若

在

处取得极值，求常数

的值；

（2）若

在

上为增函数，求

的取值范围。

解：

（1）

∵

在

处取得极值    ∴

解得

经验证知当

时，

在

处取得极值

（2）令

    得

当

时，若

   则

∴

在

和

上为增函数

故当

时，

在

上为增函数

当

时，若

   则

∴

在

和

上为增函数，从而

在

上也为增函数

综上所述，当

时，

在

上为增函数

 

[例6] 已知

为实数，

，若

在

和

上都是递增的，求

的取值范围。

解法一：

∴

函数

图象为开口向上且过点

的抛物线

由条件得

即

    ∴

即

的取值范围是

解法二：令

，即

由求根公式得

可设

，

∴

在

和

上非负

由题设可知：当

或

时

，从而

即

解不等式组得

∴

的取值范围是

 

[例7] 设

，函数

的最大值为1，最小值为

，求

的值。

解：

当

变化时，

变化情况列表如下：

			0				1
		+	0	－	0	+
		↑		↓		↑

当

时，

取极大值

，而

     ∴ 需要比较

与

的大小

∵

    ∴

最大值为

又

∴

   ∴

∴

 

[例8] 已知函数

，若

在

上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

解：

由

得

或

∵

在

上

∴

在

上单调递增

∵

在

上

∴

在

上单调递减

因此

和

分别是

在区间

上的最大值和最小值

又 ∵

    ∴

   解得

∴

   

即函数

在区间

上的最小值为

 

[例9] 设函数

，求正数

的范围，使对任意的

都有不等式

成立。

解：

，令

得

当

时，

当

时，

∴

是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点

要使

恒成立    ∴

∴

解得

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 函数

的单调递增区间为（    ）

   A.

    B.

    C.

    D.

及

2. 若函数

的递减区间为

，则

的取值范围是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

3. 函数

的一个单调区间为（1，2），则（    ）

A.

B.

C.

D.

4. 函数

，已知

在

时取得极值，则

等于（    ）

    A. 2   B. 3    C. 4    D. 5

5. 函数

有（    ）

A. 极小值

，极大值1                          B. 极小值

，极大值3

C. 极小值

，极大值2                         D. 极小值

，极大值3

6. 函数

在（0，1）内有极小值，则（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

7. 函数

的最小值为（    ）

    A. 0    B.

    C.

    D.

8. 函数

在区间

上的最大值为（    ）

A. 10    B.

    C.

    D.

 

二. 解答题：

1. 确定下列函数在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是减函数：

（1）

；

（2）

；

（3）

。

2. 求函数

的极值。

3. 如果函数

在

1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求

的值。

 

 

 

【试题答案】

一.

1. D

解析：

由

，得

或

2. A    3. C

4. D

    解析：

。

5. D

解析：

，令

，得

当

时，

，函数在这个区间为增函数

当

或

时，

，函数为减函数

∴ 当

时，

有极小值

；当

时，

有极大值3

6. A

解析：由

（因

有极小值，故

=0有解），得

且当

时，

当

时，

当

时，

又 ∵

在（0，1）内有极小值

∴

   ∴

7. A

解析：

，令

，得

又

  ∴

8. A

解析：

。由

得

或

∵

，

，

∴

的最大值为10

 

二.

1. 解：

（1）

    令

，解得

因此，当

时，

是增函数

再令

，解得

因此，当

时，

是减函数

（2）

令

，解得

或

因此，当

及

时，

是增函数

再令

，解得

因此，当

时，

是减函数

（3）

令

，解得

因此，当

时，

是增函数

再令

，解得

又函数

的定义域为

，即

因此，不存在某一区间，使

是减函数

2. 解：函数的定义域为

∵

    令

得

当

变化时，

的变化情况如下表：

				1	（1，2）	2
	+	0	－		+	0	+
	↑		↓		↑	3	↑

故当

时，

3. 解：

，令

即

，

∵

是极值点

∴

又

     ∴ 可疑点为

若

当

变化时，

的变化情况如下表：

				0	（0，1）	1
	+	0	－	0	－	0	+
	↑	极大	↓	无极值	↓	极小	↑

由上表可知，当

时，

有极大值，当

时，

有极小值

∴

若

，同理可得