复数的概念、复数的向量表示、复数的加法与减法、乘法与除法

 

二. 本周教学重、难点：

1. 形如

（

）的数叫做复数，其中

是虚数单位，

。把复数

的形式叫做复数的代数形式。记作

（

）。当且仅当

时，

为实数；当且仅当

时，

；当

时，

叫做虚数；当

，且

时，

叫纯虚数；

与

分别叫做复数

的实部和虚部。

2. 如果两个复数的实部和虚部分别相等

这两个复数相等。即如果

，那么

，

3.

，

，则有：

   

4. 复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行。设

，

（

）

加减法：

乘法：

除法：

5. 复数加法、乘法满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律，实数的正整数指数幂也能推广到复数集中，即

，

（

）

6.（1）

    其中

（2）常用

的性质解题。

；

；

，

，则

（

），

（

）

 

【典型例题】

[例1] 实数

分别取什么数值时，复数

是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应点在

轴上方？（5）对应点在直线

上。

解：

（1）由

，得知

或

时，

为实数

（2）由

，得知

且

时，

为虚数

（3）由

得知

时，

为纯虚数

（4）由

，得知

或

时，

的对应点在

轴上方

（5）由

，得知

或

的对应点在直线

上。

 

[例2] 已知关于

的方程组

有实数解，求实数

的值。

解：由（1）得

解得

代入方程（2），得

∵

    ∴

   解得

 

[例3] 已知复数

（

）满足

或

，求

的值（或范围）。

解：∵

或

    ∴

为纯虚数 

由纯虚数概念知

  解得

∴ 满足条件的

的值为2

 

[例4]  设

，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

（1）

   （2）

解：

（1）复数

的模等于4，就是说，向量

的模等于4，所以满足条件

=4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆。

（2）不等式

，可化为不等式组

不等式

的集合是圆

内部的所有的点组成的集合，不等式

的解集是圆

外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件

的点Z的集合。点Z的集合是以原点O为圆心，以2与4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界。

 

[例5] 若

，且

，求

的最小值。

解法一：∵

   即

的几何图形是以C（

）为圆心，以1为半径的圆。

是圆C上的一点P到点A（2，2）的距离，如下图所示，连接AC交圆右侧于P

则

的距离最小

∴ 最小值是3

解法二：代数法，设

（

）

∴

即

又 ∵

而

，即

∴ 在

时，

取最小值3

 

[例6] 已知关于

的方程

（

）有实数根

（1）求实数

的值；

（2）若复数

满足

，求

为何值时，

有最小值，并写出

的值。

解：

（1）∵

是方程

（

）的实根

∴

故

  解得

（2）设

，由

，得

即

    ∴ Z点的轨迹是以

为圆心，

为半径的圆

如下图所示，当Z点在

的连线上时，

有最大值或最小值

∵

，半径

∴ 当

时，最小值

[例7] 设复数

，若

，求

的值。

解：设

由

，得

∴

    ∴

或

∴

∵

   ∴

即

∴

 

[例8] 复数

满足

，求

。

解：设

，则

整理得

解

  得

∴

 

[例9] 设

，

，当

时，求

的取值范围。

解：

     

∴

又 ∵

∴

由二次函数的性质知

 

[例10] 设复数

满足

，且

，求

与

。

解：由题意有

，得

又

，故可得

所以

的实部等于

的实部等于

又

，故

的虚部为

，

于是

所以

或

所以

或

 

【模拟试题】

一. 选择题

1. 方程

的根是（    ）

A.

          B.

           C.

或

         D. 以上都不对

2.

的值是（    ）

A.

              B.

           C.

              D.

3.

等于（    ）

A.

         B.

            C.

          D.

4. 计算

的结果是（    ）

A.

              B.

           C.

              D.

5. 在复数集C内分解因式

等于（    ）

A.

B.

C.

D.

6.

的值为（    ）

A. 0        B. 1024          C.

           D.

7.

等于（    ）

A.

             B.

             C.

          D. 2

8. 满足条件

的复数

在复平面上对应点的轨迹是（    ）

A. 一条直线                B. 两条直线         C. 圆             D. 椭圆

 

二. 解答题

1. （1）计算

；（2）求

的展开式中所有奇数项的和。

2. 已知

，

，

，且

为纯虚数，求

。

3. 复数

且

，

对应的点在第一象限，若复数0，

对应的点是正三角形的三个顶点，求实数

的值。

 

 

 

 

【试题答案】

一. 选择题

1. C    解析：

，

    ∴

或

2. A   

3. B    解析：

4. D   

5. B

6. A    解析：

7. D    解析：

8. C    解析：可设

转化为实数解决或直接利用复数的几何意义。

法一：设

，则原方程变为

，即

∴ Z点的轨迹是以（0，1）为圆心，以5为半径的圆

法二：原方程即为

由复数几何意义知，它表示（0，1）为圆心，5为半径的圆，故选C。

 

二. 解答题

1.

思路点拔：按复数乘法与除法的法则展开运算，这种基本运算要熟练掌握，同时注意一些运算技巧。

解：（1）原式

        

（2）∵

 

∴

的展开式中奇数项之和为复数

的实部

又

∴

的展开式中各奇数项的和为

2.

解：设

，由

，得

①

∵

为纯虚数

∴

 ②

由①②得

或

∴

或

3.

解：

由

，得

①

∵ 复数0，

对应的点构成正三角形    ∴

把

代入化简并结合①得，得

②

又∵

点在第一象限   ∴

，

由①②得

，故所求值为

，