函数的奇偶性、单调性、周期性

 

二. 教学重、难点：

了解函数奇偶性、单调性、周期性的概念，了解周期函数最小正周期的意义，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法，能利用函数的单调性解决函数的有关问题。

 

【典型例题】

[例1] 定义在R上的函数

满足对任意

恒有

，且

不恒为0。

（1）求

和

的值；

（2）试判断

的奇偶性，并加以证明；

（3）若

时

为增函数，求满足不等式

的

的取值集合。

解析：

（1）令

，得

    ∴

令

，得

∴

（2）令

，由

，得

又

   ∴

又 ∵

不恒为0      ∴

为偶函数

（3）由

知

   又由（2）知

∴

   又 ∵

在

上为增函数

∴

故

的取值集合为

 

[例2] 设函数

在

上满足

，

，且在闭区间[0，7]上，只有

。

（1）试判断函数

的奇偶性；

（2）试求方程

在闭区间

上的根的个数，并证明你的结论。

解析：

（1）由

，得函数

的对称轴为

∴

而

，即

不是偶函数

又 ∵

在[0，7]上只有

   ∴

从而知函数

不是奇函数

故函数

是非奇非偶函数

（2）

从而知函数

的周期为T=10

又

∴

故

在[0，10]和

上均有2个根，从而可知函数

在[0，2000]上有400个根，在[2000，2005]上有2个根，在

上有400个根，在

上没有根。

∴ 函数

在

上有802个根。

 

[例3] 函数

是以4为周期的周期函数，且当

时，

，则当

时，试求

的解析式。

解析：因为

是以4为周期的函数，所以，（1）当

为奇数时，

为4的倍数。

当

时，

，所以

，于是有

。

（2）当

为偶数时，可以知道

为4的倍数，当

时，有

，于是

从而有

当

时，有

于是有

，所以

综合（1）（2）可以得到：当

为奇数时，

，

当

为偶数时，

 

[例4] 定义在R上的函数

，

，当

时，

，且对任意的

，有

。

（1）证明

；

（2）证明对任意的

，恒有

；

（3）证明

是R上的增函数；

（4）若

，求

的取值范围。

解析：（1）证明：令

，则

又

   ∴

  

（2）证明：当

时，

 

∴

     ∴

又

时

       ∴

时恒有

（3）证明：设

，则

     

∴

∵

    ∴

又

    ∴

∴

    ∴

是R上的增函数

（4）由

，

，得

又

是R上的增函数     ∴

     ∴

 

[例5] 已知函数

，其中

，

为自然对数的底数。

（1）讨论函数

的单调性；

（2）求函数

在区间[0，1]上的最大值。

解析：（1）

① 当

时，令

，得

若

，则

，从而

在（0，+

）上单调递增

若

，则

，从而

在（

）上单调递减

② 当

时，令

，得

，故

或

若

，则

，从而

在（

）上单调递减

若

，则

，从而

在（0，

）上单调递增

若

，则

，从而

在（

）上单调递减

（2）① 当

时，

在区间

上的最大值是

1

② 当

时，

在区间[0，1]上的最大值是

③ 当

时，

在区间[0，1]上的最大值是

 

[例6] 是否存在常数

，使函数

在

上是减函数且在

上是增函数？

解：方法一：设

，则原函数转化为

那么问题就等价于是否存在常数

，使函数

在

上是减函数且在

上是增函数，根据二次函数的性质，知只需

，即

。

方法二：由题意知

为函数

的一个极值点

∵

由

，得

，此时，

故当

时，

，

为减函数；当

时，

，

为增函数

∴

适合题意

方法三：任取

，则

由

在

上是减函数可知，对任意的

，

恒成立

∴ 有

恒成立，即

恒成立

    ∴

因此，当

时，

恒成立，

即当

时，函数

在

上是减函数

仿上可得当

时，函数

在

上是增函数

故存在常数

，使函数

在

上是减函数，且在

上是增函数

 

[例7] 设函数

的图象上一点P（

）处切线的斜率为

。

（1）若方程

有两个实根分别为

，且

，求证：

（2）若

在区间

上是单调递减函数，求

的最小值。

分析：根据导数的几何意义知

（1）证明：由已知得

是方程

的两个实根

根据韦达定理得

又 ∵

    ∴

∴

   ∴

（2）解：

在区间[

上是单调递减函数

∴ 在

上恒有

，即

恒成立

从而

当

时，

的最小值为13

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 已知函数

是一个以4为最小正周期的奇函数，则

等于（    ）

    A. 0    B.

    C. 4    D. 不能确定

2. 设函数

是定义在R上，周期为3的奇函数，若

，则（    ）

A.

且

                         B.

C.

或

                          D.

3. 设

分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当

时，

，且

，则不等式

的解集是（    ）

A.

                  B.

C.

               D.

4. 设

是定义在R上以6为周期的函数，

在（0，3）内单调递减，且

的图象关于直线

对称，则下面正确的结论是（    ）

A.

B.

C.

D.

5. 对任意实数

，定义

为不大于

的最大整数（例如

等），设函数

，给出下列四个结论：①

；②

；③

是周期函数；④

是偶函数，其中正确结论的个数是（    ）

    A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

6. 若

，

，定义：

，例如

。则函数

的奇偶性是（    ）

A. 是偶函数不是奇函数

B. 是奇函数不是偶函数

C. 既是奇函数又是偶函数

D. 既不是奇函数又不是偶函数

7. 函数

（    ）

A. 在

上递增，在

上递减

B. 在

上递增，在

上递减

C. 在

，

上递增，在

上递减

D. 在

上递增，在

上递减

8. 若函数

在区间

内恒有

，则

的单调递增区间为（    ）

A.

    B.

    C.

    D.

 

二. 解答题：

1. 函数

对任意的

，都有

，并且当

时，

。

（1）求证：

是R上的增函数；

（2）若

，解不等式

2. 设函数

是定义在R上的偶函数，并在区间

上单调递增，

，当

取何值时，函数

是单调递减函数？

3. 设函数

是奇函数，（

，

都是整数），且

，

在

上单调递增。

（1）求

的值；

（2）当

时，

的单调性如何？证明你的结论。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. A

    解析：由题意知

，又

周期为4，因此

，综上，可知

2. C

    解析：由题意分析知

，又函数

的周期为3，所以

，则由

，求得

或

。故选C。

3. D

解析：令

∵

分别是奇函数、偶函数

∴

为奇函数

又

，即

在

上为增函数

又

    ∴

   ∴

又

在

上也是增函数

故

的解集为

4. B

解析：

在R上以6为周期，对称轴为

，且在（0，3）内单调递减，

，

∵

    ∴

即

5. C

解析：由题意有

   ∴

，且

∴ ①②正确

∵

∴

为周期函数

∵

∴

不是偶函数，故选C。

6. A

解析：∵

              

∴

，即

为偶函数

7. A

解析：

是分段函数

在一、二象限

，

单调递增；在三、四象限

，

递减

  8. D

解析：设

，当

时，

，而此时

恒成立

∴

，则减区间为

而必然有

，即

或

∴

的单调增区间为

二.

1. 解析：

（1）设

，且

，则

  ∴

 

 

∴

，即

是R上的增函数

（2）

∴

   ∴ 不等式即为

∵

是增函数

于是有

，解之，得

2. 解析：∵

是偶函数且在

上单调递增

∴

在

上单调递减

又 ∵

∴

即

若使

是单调递减函数，据复合函数的单调性知需求

的单调区间，而当

时，

单调递增

∴

3. 解析：

（1）由

，得

    由

，得

∵

为奇函数，故

的定义域关于原点对称

又

的定义域为

（显然

，否则

为偶函数）

∴

，即

于是得

，且

，

∴

    ∴

    又

   ∴

    ∴

故

，

，符合

在

上单调递增

（2）由（1）知

，

当

时，

取得极值，此时

又 ∵

0    ∴

∴

的增减性在

处转折

当

时，

显然

∴

    ∴

为减函数

综上所述，

在

上是增函数，在

上是减函数。