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问：

参考例题

题目：

△ABC是等边三角形,点D. E分别在边AB、BC上,CD、AE交于点F,∠AFD=60°.

(1)如图1，求证：BD=CE；

(2)如图2,FG为△AFC的角平分线,点H在FG的延长线上,HG=CD,连接HA、HC,求证：∠AHC=60°；

(3)在(2)的条件下，若AD=2BD，FH=9，求AF长。

考点：

[全等三角形的判定与性质, 等边三角形的性质]

分析：

（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根据SAS推出△ABE≌△BCD，即可证得结论；
（2）根据角平分线的性质定理证得CM=CN，利用∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，得出∠CEM=∠CGN，然后根据AAS证得△ECM≌△GCN，得出CG=CE，EM=GN，∠ECM=∠GCN，进而证得△AMC≌△HNC，得出∠ACM=∠HCN，AC=HC，从而证得△ACH是等边三角形，证得∠AHC=60°；
（3）在FH上截取FK=FC，得出△FCK是等边三角形，进一步得出FC=KC=FK，∠ACF=∠HCK，证得△AFC≌△HKC得出AF=HK，从而得到HF=AF+FC=9，由AD=2BD可知AG=2CG，再由

S△AEG

S△CFG

=

AG

GC

，根据等高三角形面积比等于底的比得出

S△AEG

S△CFG

=

1

2

AF·GW

1

2

CF·GQ

=

AF

CF

=2，再由AF+FC=9求得．

解答：

(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠ACE=60°BC=AC，

∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°

∴∠BCD=∠CAE，

在△ABE和△BCD中，

∠B=∠ACEBC=AC∠BCD=∠CAE

∴△ABE≌△BCD(ASA)，

∴BD=CE；

(2)如图2,作CM⊥AE交AE的延长线于M,作CN⊥HF于N,

∵∠EFC=∠AFD=60°

∴∠AFC=120°，

∵FG为△AFC的角平分线，

∴∠CFH=∠AFH=60°，

∴∠CFH=∠CFE=60°，

∵CM⊥AE，CN⊥HF，

∴CM=CN，

∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE,∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，

∴∠CEM=∠CGN，

在△ECM和△GCN中

∠CEM=∠CGN∠CME=∠CNG=90°CM=CN

∴△ECM≌△GCN(AAS)，

∴CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，

∴∠MCN=∠ECG=60°，

∵△ABE≌△BCD，

∵AE=CD，

∵HG=CD，

∴AE=HG，

∴AE+EM=HG+GN，即AM=HN，

在△AMC和△HNC中

AM=HN∠AMC=∠HNC=90°CM=CN

∴△AMC≌△HNC(SAS)，

∴∠ACM=∠HCN，AC=HC，

∴∠ACM∠ECM=∠HCN∠GCN,即∠ACE=∠HCG=60°，

∴△ACH是等边三角形，

∴∠AHC=60°；

(3)

如图3，在FH上截取FK=FC，

∵∠HFC=60°，

∴△FCK是等边三角形，

∴∠FKC=60°，FC=KC=FK，

∵∠ACH=60°，

∴∠ACF=∠HCK，

在△AFC和△HKC中

FC=KC∠ACF=∠HCKAC=HC

∴△AFC≌△HKC(SAS)，

∴AF=HK，

∴HF=AF+FC=9，

∵AD=2BD，BD=CE=CG，AB=AC，

∴AG=2CG，

∴S△AFGS△CFG=AGGC=21，

作GW⊥AE于W，GQ⊥DC于Q，

∵FG为△AFC的角平分线，

∴GW=GQ，

∵S△AFGS△CFG=12AFGW12CFGQ=AFCF=21

∴AF=2CF，

∴AF=6.