等差数列求和公式

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等差数列求和公式10岁的高斯（德国）的算法：首项与末项的和：1+100=101第2项与倒数第2项的和：2+99=101第3项与倒数第3项的和：3+98=101………………………………………第50项与倒数第50项的和：50+51=101∴101×（100／2）=5050一、引例：1＋2＋3＋…＋100=？二、学习新课㈠等差数列前n 项和Sn =                    =                               .=an2+bna、b 为常数Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an     (1)Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1        (2)(1)+ (2)得2Sn=n(a1+ an)下一页上一页设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d]二、公式的推导：∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an)此种求和法称为倒序相加法n个思考：由上面的推导过程中，你能判定下式 的关系：在等差数列{an}中a1+an       a2+ an-1——a3+ an-2      …am+an-m===三、公式的应用：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn（1）a1=5,an=95,n=10（2）a1=100,d=－2,n=50（3）a1=14.5,d=0.7,an=32S10=500S50=2550S26=604.5例1.    等差数列－10，－6， －2，2，…前多少项和是54?∴-10n+[n(n-1) ／2] ×4=54解得:     n=9，n=-3(舍)∴前9项的和是54解：∵a1=-10,    d=-6－(-10)=4练习：（1）等差数列5，4，3，2，…前多少项的和 是－30?（2）求等差数列13，15，17，…81的各项和15项1645例2.    在小于100的正整数中共有多少个被3       除余2，这些数的和是多少？即有33个被3整除余2的数，这些数为:2，5，8，…98练习：求集合M=｛m|m=7n, n∈N+,且m﹤100｝的 元素个数，并求这些数的和课堂小结：1.会用两公式2.若d=0,an=a，则Sn=______na3.推导公式（1）的方法是用倒序相加法4.思考：若Sn=an2+bn，则｛an｝是等差数列吗?例2 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？一、巩固与预习 (P43-44)1. {an}为等差数列??                           . ??                                 ，更一般的，                           ，d=                    .2. a、b、c成等差数列?b为a、c 的?                    ?                       .an+1- an=d2an+1=an+2+anan=a1+(n-1)dan=an+ba、b为常数an=am+(n-m)d等差中项2b= a+c3. 在等差数列{an}中a1+an       a2+ an-1      a3+ an-2      …①前100个自然数的和：1+2+3+…+100=     ；②前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=    ；③前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=        .思考题：如何求下列和？n2n(n+1)===下一页