原创 Lulu Wang 掰壳老师Alevel 2020-04-28
最近有位同学看了一部电影——《决胜21点》,对里面的“三门问题”十分感兴趣,于是来和Lulu老师探讨。实不相瞒,当年我在UCL上的第一节Applied Math的课时,我的教授也在课上问了我们这个问题,记忆犹新!
那今天
我们就一起来一探究竟吧
先说说这部电影,它讲述的是16岁的数学天才少年Ben,靠智商席卷了拉斯维加斯赌城,成为亿万富翁的故事。在这个故事的最开始,他在课堂上被提问了两个问题,一个是我们FP1中学过的Numerical solution of equation——Newton-Raphson Process(大家康一康电影中的板书是不是很熟悉!)
另一个就是我们今天的主角——“三门问题”。
这个游戏原型来自于美国的一个电视抽奖节目,Let’s make a deal。该节目主持人叫蒙提霍尔,所以我们也把“三门问题”叫做Monty Hall problem。
··· 话不多说,我们开始吧!···
现在有三扇门,只有一扇门打开是汽车,
其余两扇门里面都是山羊。
在你不清楚每扇门后面是什么的情况下,
你会在三扇门中随机挑选一扇。
当然,你希望能够get汽车~
为了让游戏更有趣,在你选择了一扇门之后,
清楚门后面是什么奖品的主持人,
会打开另一扇不是你选择的,并且后面是山羊的门。
··· 什么意思呢?···
如果你挑了一扇有山羊的门B,
那主持人就会打开另一扇有山羊的门C。
如果你挑了一扇有汽车的门A,
主持人会打开另外两扇有山羊的门BC中的任意一扇。
··· 重点来了 ···
此时,主持人会问你一个问题:
你是否要改变你的选择,去选择另一扇没有打开的门?
好了,以上就是游戏规则。
如果是你,你会坚持原来的选择,还是临时倒戈呢?
教授在电影里也向Ben提出了尖锐的疑问:
我们来康康男主帅气十足的回答:
让我们用一个Tree diagram来理一理:
首先,我们第一次选择的时候,
无论是选ABC,每个都有1/3的概率。
第二条分支,需要我们好好理解一下。
1. 你选到了A门(车)
主持人会打开BC(羊)两个中的某一扇门
此时,你换门,则没车,即中奖概率0%
不换门,就有车,即中奖概率100%
2. 你选到了B门(羊)
主持人会打开C(羊)
你换门,你一定会换成A(车),即中奖概率100%
不换门,即中奖概率0%
3. 你选到了C门(羊)
主持人会打开B(羊)
与上面选了B门同理,你换门,
你一定会换成A(车),即中奖概率100%
不换门,即中奖概率0%
当我们把概率都理清楚了以后
我们就可以利用S1中学过的知识
来算一下到底要不要换门了
不换门的获奖率
=(1/3 x 100%)+(1/3 x 0%)+(1/3 x 0%)=1/3
换门的获奖率
=(1/3 x 0%)+(1/3 x 100%)+(1/3 x 100%)=2/3
经过这一顿操作
我们发现如果临时倒戈选择换门
中奖的概率大大提高
竟然是不换门的两倍之多!
是不是和你最一开始猜测的答案有所不同呢?
等等,你说有没有更简单的方法?
男主Ben又是如何一下子算出答案的?
如果我们用另一个角度去看这个“三门问题”
我们可以这样想
在你最初选择门的时候,中奖概率是1/3,
那么也可以说,
车在另外两扇不是你选择的门的概率为2/3
(两扇门平摊这个概率)
这时,主持人帮你打开了一扇有羊的门,
即帮你排除了一个错误选项,
这个2/3的中奖概率忽然就塌缩到了剩下的一扇门里
(一扇门独享这个概率)
所以,如果此时我们更换选择,
中奖概率就提高到2/3,而不是原来的1/3了。
除了下次遇到这类问题,
能够云淡风轻地和男主一样说出正确答案之外,
在我们的生活中也是有点用处的。
比如,公司里面现有三种新品需要开发,
并且这三种里只有一种产品能够杀出重围,获得成功。
你作为产品经理完全无法抉择哪个项目更好,
于是你随机选择了其中一种。
还没等咱们上手呢,
你可怜的对家公司刚好研发了另一个产品,
而且市场并不买账,一败涂地。
这个时候,你应该怎么做?
立刻放下手中你选择的产品,换另一个开发!!
为什么?
因为“三门问题”啊~
文章作者:@ Lulu Wang
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