九九归一与完美无缺00:0012:43
【数学之美之神奇的数】
九九归一与完美无缺
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数字王国无穷无尽,而这其中更有一些数有着非凡的神奇之处。罗素曾经说:数学不仅拥有真,而且拥有非凡的美,一种如雕塑般冷峻而朴素的美,一种屹立不摇的美。极其纯净,能够臻于一种不可撼动的极致,就如同只有最伟大的艺术才能呈现的那样。
罗素的这段话虽然看不太懂,但归纳中心思想,无非就是“数学真TM美”的意思,美到不知道高到哪里去了。所以我打算在罗素的指引下,也为大家寻找一些数学上的美与神奇,“数学之美”这一系列节目就由此诞生,不过大家放心,与星座系列不一样的是,这个系列节目将会不定期推送,不会连起来让大家感到乏味枯燥,而之所以不定期推送,其深层次原因还在因为我现在所想到的就够一期节目的体量,现在是短了就满足不了大家了,我也感到很捉急啊。
所以数学之美,我们先从两个神奇的数开始。说“两个数”其实不准确,第一个确实是一个数,第二个则是一类数。好了废话不多说了,正八经儿整吧。
第一个数是九九归一的1,这是一个压抑不住的数,通过某种运算,我们总能得到它。具体是这样的,首先大家在心里选择任何一个数,特此忠告,这个数最好别选太大,否则你今天就不用干别的了。选中之后,你要遵守这样的基本法,如果你选的这个数是奇数,那么就乘以3再加上1,如果是偶数,那么就除以2。你所得到的结果,同样要按照这一个基本法来。我相信,无论你选择的数是几,那么在不断重复这个过程之后,你最后得到的结果一定是1。
比如说我现在选择12这个数。12是偶数,所以12÷2=6,6也是偶数,所以再除以2,6÷2=3,3是奇数,接下来就要换第一条基本法了,3×3+1=10。10÷2=5,5×3+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1。完成任务。
人们相信,无论我们从哪个数开始,最终都会到达1。你可能不相信,但是你换个数试一试确实如此,比如说17,那么会需要12步来得到1。而如果从43开始,则会需要29步。可以说,这是非同寻常的。
那么这个定律真的对一切数都成立吗?可惜的是,这个问题看似简单,但从1930年以来,数学家们就一直关切并研究着这个问题,而且时至今日,仍然没有人找到任何解答。尽管有人为证明这个猜想提供了数额不菲的种种金钱奖励,但至今没有一个大脑可以解开谜题。在数学中,这个问题被称为“3n+1”问题,现在人们利用计算机已经证明,对于一直到10的18次方-1的所有数,这个定律都成立。
而且我们还会发现,无论怎样,我们对会止步于最后那个4-2-1的循环。而如果你试图在得到1之后继续进行下去,那么也一样,因为3×1+1还是等于4,最后的结果还是1。
今天要说的第二个数是“完满数”。在数学中,是否存在着某件事物比其他事物更加完满呢?答案是存在的,因为不存在就没法讲了。根据传统数论,存在着一个被称为“完满数”的群体,它被定义为所有真因子恰好等于其本身的数,所谓的“真因子”指的就是除了这个数本身之外的所有因子。最小的完满数是6,因为6=1+2+3,而1,2,3正是6的所有真因子。下一个比较大的完满数是28,28=1+2+4+7+14。再下一个是496,496=1+2+4+8+16+31+62+124+248。
对于前四个完满数,古希腊人表示他们早就知道了。比496大的是8128。而提出一条定理来概括如何找到一个完满数的数学家是欧几里得,欧几里得发现,如果2的k次方-1是一个素数,那么2的k次方-1再乘以2的k-1次方就是一个完满数。也就是说,每当我们找到一个k的值,使得2的k次方-1的计算结果是一个素数,那么我们就可以构造出一个完美数。也就是说,每当我们找到一个梅森素数的时候,其实就找到了一个完满数。
完满数公式
利用欧几里得的这种产生完满数的方法,我们可以得到这样一个完满数的列表,那就是当k=2,3,5,7,13,17,19时,分别得到完满数6,28,496,8128,3355 0336,85 8986 9056以及1374 3869 1328。
通过观察,我们会发现完满数的一些特性。它们似乎都是偶数,而且都以6或者是28来结尾。这些完满数似乎还都是三角形数,也就是连续自然数之和,比如说6=1+2+3,28=1+2+3+...+7,496+1+2+3+...+31。更进一步的,我们还会发现,在6之后的每个完满数都是奇数数列的立方和,也就是1的立方+3的立方+5的立方+7的立方+9的立方+11的立方+...。比如说28=1的立方+3的立方,而496=1的立方+3的立方+5的立方+7的立方。
那么欧几里得给出的寻找完满数的公式是不是正确的呢?同样很遗憾,目前还无法得到证明,于是数学家又开始用老办法,用计算机嗷嗷算来进行验证,试图找出反例。另外,算到现在我们还不知道是否存在奇数完满数。
好了时间还有,为了防止你说我太水,我们再来个加餐,这是一类非常友好的数,这就是“亲和数”。说这个亲和数友好并不是说我们看起来对我们友好,那要是对数学头疼的朋友的话,估计没一个数是友好的。在数学中,数学家认定,如果第一个数的真因子之和等于第二个数,并且第二个数的真因子之和也等于第一个数的话,那么这两个数我们就说是“亲和数”,可见,亲和数并不是一个数,而是一对数。
第一对亲和数由毕达哥拉斯发现,这对数是220与284。220的真因子为1,2,4,5,10,11,20,22,44,55和110。它们的和是284。而284的真因子为1,2,4,71和142,它们的和为220。第二对亲和数由费马发现,这哥俩是17296和18416。17296的真因子为1,2,4,8,16,23,46,47,92,94,184,188,368,376,752,1081,2162,4324和8648,这些数的和为18416。而18416的真因子为1,2,4,8,16,1151,2302,4604,9208,这些数的和为17296。
还有几对亲和数,比如1184和1210,2620和2924,5020和5564,6232和6368,10744和10856等等等等。
那么寻找亲和数有没有什么公式呢?答案是有的,大约公元850年,阿拉伯数学家塔别脱-本-科拉就发现了亲和数公式,后来这称为“塔别脱-本-科拉法则”。这个法则表述起来比较费劲。设a=3×2的n次方-1,b=3×2的n-1次方-1,c=3的平方×2的2n-1次方-1。其中,n是一个大于等于2的整数,如果a,b,c都是素数,那么2的n次方乘以ab和2的n次方乘以c这对数,就是亲和数。
亲和数公式
可见即便有这样的公式,找到亲和数也是十分费劲的,因为要找到一个n使得a,b,c都是素数,这是十分不容易。关于这一点还不得不提身经百战的欧拉,1750年,欧拉以其超凡的数学思维,一口气抛出了60对亲和数,轰动了整个数学界。
目前,人们已找到了1200多万对亲和数。但亲和数是否有无穷多对,亲和数的两个数是否都是或同是偶数,或同是奇数,有没有一奇一偶的情况,以及是否存在互素的亲和数,这些问题还有待数学家的继续探索。
要问我今天所说的这些有什么意义,我也不知道,我也不是数学家,我也不是科普工作者,所以就想看美女单纯觉得好看,而并不会不想这姐姐是怎么进化的一样,我就是单纯觉得这些数很有意思,仅此而已。如果您想听高大上的科普节目,抱歉2049也许不是您的正确选择。我们就是一档以胡编乱造的科学话题为主,兼具其他话题的低俗化瞎扯淡的娱乐节目,以供您在路上、睡觉前和拉屎时消遣用的。如果能再增加一点您茶余饭后的谈资,以及撩妹时的话题,那么想必是极好的,谈不上功德无量,更谈不上学什么东西,就像看这些数一样,您觉得挺好玩,能打发打发时间,我们的目的就达到了。
好了总结一下今天的,就和很多还处于猜想中的假说一样,并不是数学中我们所知道或者认为正确的一切都得到了证明,不过在最终证明之前,这并不妨碍我们去接受它们。同样的,我们也要清楚的是,也许有一天,会有人发现一个反例使得这样的命题不再成立,即便是在我们接受了它以后。
嗯,再补一种友好的数对,也很有意思,6205等于38的平方加69的平方,而3869则等于62的平方加05的平方,类似的5965等于77的平方加06的平方,7706则等于59的平方加65的平方。有没有什么规律或者公式,数学家都没找到,我就更不知道了。
好了今天的节目就到此为止了,最后做个预告,明天周五的长篇节目将把我们最近一系列长篇节目的大招推向顶峰,这也是2049开播2年多,900多期节目以来,史无前例的鸿篇巨制,明天见。