庞加莱回归定理

原创 Chung Lee 数学物理原理 2019-05-22 19:50

基础物理告诉我们，系统经过不可逆过程之后，是无法自发恢复到原始状态的，比如气体可以自由膨胀，却不会自发收缩。这种单向性常被称为热力学箭头。

但是，无论牛顿运动方程，还是薛定谔方程，都存在时间反演的解，这就意味着，气体的自由膨胀和自发收缩都是合理的物理过程。然而，宏观上只有自由膨胀，没有自发收缩。这是宏观热力学与微观运动学的一个尚未调和的矛盾。

虽然物理实验结果一直支持热力学的不可逆性，但是庞加莱证明了一个定理，使得宏观不可逆性问题变得特别尖锐。这个定理的主要结论是，对于有限体积的系统，除了极少的情况下，系统必然会在经历过一段时间后回复到初始状态附近，更惊人的是，这种回复具有无限次。

用严格的语言表述就是：

对于相空间体积有限的物理系统，设其相空间为 Ω，取它的任意非零体积的子集 A ∈ Ω。用 x(t) 表示系统的演化，初始状态为 x(0) ∈ Ω。取任意时间间隔 τ ，那么：

1、除掉 A 的一个零测度集外，对其他的 x(0) ∈ A ，都存在某个正整数 n 使得 x(nτ) ∈ A 。换言之，系统从 A 内出发，经过时间 nτ 后又回到 A 内。

2、除掉 A 的一个零测度集外，对其他的 x(0) ∈ A ，都存在无穷多个正整数 n 使得 x(nτ) ∈ A 。

该定理的严格证明附在知乎专栏相应文章上，有兴趣的读者可以点击文末的阅读原文查看(需要哈密顿力学基础)。

回归定理并没有严格给出回归时间，它只是指出了不可逆过程几乎不存在。那么，我们该怎么解释热力学上的不可逆过程呢？或许你会着眼于庞加莱回归定理里的 A 的那个零测度集，这个零测度集内的初始状态是无需满足回归性的，假如物理系统总是处于这个零测度集内，那么就不存在回归疑难了。然而，这个零测度集是明显依赖于 A 的，物理的许可状态不应该依赖于一个任意选定的集合。再者，如果物理状态只能处于一个零测度集上，那么计算熵的公式将大为修改，物理基础也将大为修改——这显然不是首选项。

另有看法是，回归时间远大于宇宙年龄，可以不予理睬。比如体积为 1 立方厘米的理想气体自由膨胀大一倍，再回归到原来的体积，所需的时间远远大于宇宙年龄。这个看法包含太多的回避态度了。举例来说，质子如果会衰变的话，它的寿命也将远大于宇宙年龄，但是这不代表质子衰变不会产生可观测的效应。另外，物理完全可以成为一个自恰的理论系统，如果把热力学看成是某种近似理论，我们应该找出这种近似成立的条件。

关于宏观不可逆性起源的研究仍在继续。