浅析圆锥曲线离心率求解问题的一题多解
编辑:admin 日期:2011-5-16 10:50:16 浏览:0 来源:离心率问题是高考考察的热点问题之一，也是必考内容之一。离心率求解的关键是根据题目条件寻找到基本量
之间的等量关系或相关性。而在求解过程中，常涉及到列不等式、三角形中角度的变化，圆锥曲线的定义、性质等知识点、综合性强，计算量大。本文以若干道典型的离心率求解问题为例，详细说明了若干种常规的离心率解法作为借鉴参考。
例1 若双曲线上
横坐标为
的点
到右焦点
的距离等于半焦距，则双曲线的离心率是（ ）
A.
B. 2 C.
D.
解法一：根据题目条件直接计算。
由题意可得，
点坐标
，
点坐标
，则
，解得
，则
本题根据题目给出的点
坐标信息，直接求解
点坐标，再利用两点间距离公式，得到
的等量关系，从而求得离心率值。这是最常见的一种方法，计算方法比较直观，但往往计算量大且复杂，因此运用此方法计算离心率时计算要非常小心。
解法二：利用圆锥曲线第二定义求解离心率。
根据双曲线第二定义可知，双曲线上的点到双曲线右（左）焦点距离与到右（左）准线距离之比为离心率，则点
到右焦点
的距离
，则
，解得
则
。
在圆锥曲线问题中，利用圆锥曲线第二定义，可以用简单的代数式表示圆锥曲线上的点到焦点距离，避免了利用两点间距离公式计算造成的计算复杂，从而使得计算变得十分简便。
解法三：利用焦半径公式。
双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。设
是双曲线
的一点，
和
分别是点
与点
的距离。当点
在双曲线右支时，左焦半径
，右焦半径
；当点
在双曲线左支时，左焦半径
，右焦半径
，其中
是离心率。
因为
点横坐标为
，则
点在双曲线的右支上，根据焦半径定义可知，
，解得
则
。
圆锥曲线的焦半径定义是通过圆锥曲线第二定义推出来的，与第二定义相比，其结论更加直接。
虽然圆锥曲线第二定义以及焦半径定义目前已从高中数学教材中删去，但从上题可以发现，若圆锥曲线问题涉及到圆锥曲线上的点到焦点距离时，运用圆锥曲线第二定义或焦半径定义可以使得计算简便很多。
例2 双曲线
的两个焦点为
，若
为其上一点，且
，则双曲线离心率的取值范围为
A.
B.
C.
D.
解法一：三角形正余弦定理
如图，设
，当
在右顶点
处时
，则
在
中，
∵
解法二：向量运算
，即点
在双曲线右支上。
设点
，则
。由
可得，
，化简可得，
设向量
和向量
的夹角为
，则
（当
在右顶点
处时
），则
，即
，则
，解得
，即
在圆锥曲线求离心率问题中，若涉及到角度的话，往往可利用余弦定理或向量运算等来帮助解题。
解法三：三角形边长关系：三角形的两边和大于第三边
设
，则
又
（当且仅当
三点共线时等号成立）
，即
，而
注：运用三角形边长关系来确定离心率范围时，要注意在三角形关系中两边之和不能等于第三边，但在本题中
可能会三点共线，此时可以取到等号。
解法四：数行结合
,即在双曲线右支上恒存在点
使得
。
由图可知，
，即
，而
解法五：运用圆锥曲线第二定义或焦半径公式确定
与
的关系
设点
，则由圆锥曲线第二定义或焦半径公式可得
，则
，而
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