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滤波
滤波是将信号中特定波段频率滤除的操作，是抑制和防止干扰的一项重要措施。是根据观察某一随机过程的结果，对另一与之有关的随机过程进行估计的概率理论与方法。
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均值滤波
均值滤波是典型的线性滤波算法，在图像中应用比较多，原理是以该像素点周围的八个像素点取平均操作，然后替代该像素点，也就是卷积操作。对于处理简单的线性数据y=ax+b，原理也是类似的，取该点周围的n个点取平均即可，n可以看为是一个滑窗。因此，可以取该点的前后n个数据的平均值，也可以取前n个数据的平均值，根据不同场景数据设计即可。
Python 代码：
(35条消息) 滤波算法——均值滤波，中值滤波，一阶(αβ)滤波，卡尔曼滤波_均值滤波算法_GoodluckTian的博客-CSDN博客
https://blog.csdn.net/weixin_43152152/article/details/119819318
参考资料：
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中值滤波
和均值滤波相似，同样是选取固定大小滑窗，然后选取滑窗内的中位数作为滤波结果。或者选取中位数平均数，类似比赛中去掉最高最低分，对其余比分求平均，这种可以叫做中位值平均滤波法。思路都是差不多的，都是需要做一遍排序。
中值滤波能有效克服偶然因素引起的波动噪声。
Python 代码：
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一阶(αβ)滤波
一阶滤波是比较常用简单的滤波方法，就是当前采样结果和上一个滤波结果加权求和，权重和为1。对周期干扰噪声有良好的抑制作用，但同样会产生相位滞后，权重是固定值也是其缺点之一。
一阶(αβ)滤波
一阶滤波是比较常用简单的滤波方法，就是当前采样结果和上一个滤波结果加权求和，权重和为1。对周期干扰噪声有良好的抑制作用，但同样会产生相位滞后，权重是固定值也是其缺点之一。
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HP 滤波器
Hodrick-Prescott (HP) 过滤器是指数据平滑技术。HP 过滤器通常在分析过程中应用，以消除与商业周期相关的短期波动。消除这些短期波动揭示了长期趋势。这有助于进行与商业周期相关的经济或其他预测。Hodrick-Prescott (HP)是时间序列中最常用的算法。
数学表述
特别注意事项
HP 过滤器是宏观经济分析中使用最广泛的工具之一。如果噪声呈正态分布，并且所进行的分析是历史性的，则往往会得到有利的结果。
根据经济学家兼教授 James Hamilton 发表的论文——该论文出现在美国国家经济研究局网站上——不应该使用 HP 过滤器的原因有几个。汉密尔顿首先提出，文件管理器在生成数据的过程中产生没有依据的结果。他还指出，在样本末尾过滤的值与中间的值完全不同。
HP滤波很容易实现，不过它也存在一定缺陷，只在以下严苛条件下才能做出最优估计：
时间序列是二阶整合的，否则HP滤波会得到偏离实际情况的趋势项。
如果发生了单次的永久性冲击（permanent shock）或存在稳定的趋势增长率，HP滤波得到的周期项也会扭曲。
样本中的周期项是白噪音，或者趋势项和周期项中的随机变化机制相同。
Python代码：
参考资料：
时间序列time series算法-Hodrick-Prescott (HP) filter - 知乎 (zhihu.com)
https://zhuanlan.zhihu.com/p/434270489
statsmodels.tsa.filters.hp_filter.hpfilter — statsmodels
https://www.statsmodels.org/dev/generated/statsmodels.tsa.filters.hp_filter.hpfilter.html
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BK滤波器
带通滤波器（band-pass filter）是一个允许特定频段的波通过同时屏蔽其他频段的设备，比如RLC振荡回路就是一个模拟带通滤波器。一个理想的带通滤波器应该有一个完全平坦的通带，在通带内没有放大或者衰减，并且在通带之外所有频率都被完全衰减掉，另外，通带外的转换在极小的频率范围完成。
Python 代码
参考资料：
statsmodels.tsa.filters.bk_filter.bkfilter Baxter-King 带通滤波器返回原始系列的中心加权移动平均值。(runebook.dev)
https://runebook.dev/zh/docs/statsmodels/generated/statsmodels.tsa.filters.bk_filter.bkfilter
statsmodels.tsa.filters.bk_filter.bkfilter — statsmodels
https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.tsa.filters.bk_filter.bkfilter.html
带通滤波器 - 知乎 (zhihu.com)
https://www.zhihu.com/topic/20290330/intro
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CF滤波器
Python 代码
参考资料
statsmodels.tsa.filters.cf_filter.cffilter Christiano Fitzgerald 非对称随机游走滤波器（源代码，png，hires.png，pdf）另请参见 statsmodels.tsa.filters.bk_filter.bkfilter，statsmodels.tsa.filters.hp_filter.hpfilter， (runebook.dev)
https://runebook.dev/zh/docs/statsmodels/generated/statsmodels.tsa.filters.cf_filter.cffilter
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季节性分解
将复杂的时间序列分解为趋势（trend,）、季节性（seasonality,）和其他部分（remainder）是促进时间序列异常检测和预测的重要任务。
通过使用具有稀疏正则化的最小绝对偏差损失来解决回归问题，从而稳健地提取趋势分量。基于提取的趋势，我们应用非局部季节性滤波来提取季节性成分。重复这个过程，直到获得准确的分解。
时间序列数据的基本问题之一是季节性趋势分解（seasonal-trend decomposition），良好的季节性趋势分解可以揭示时间序列的潜在规律，并可用于进一步分析，例如异常检测和预测。例如，在异常检测中，局部异常可能是空闲期间的尖峰。如果没有季节性趋势分解，它会被遗漏，因为它的值仍然远低于繁忙时期的异常值。此外，不同类型的异常在分解后对应不同成分的不同模式。
Python 代码：
参考资料：
时间序列分解@RobustSTL: A Robust Seasonal-Trend Decomposition Algorithm for Long Time Series - 知乎 (zhihu.com)
https://zhuanlan.zhihu.com/p/438456191
statsmodels.tsa.seasonal.seasonal_decompose 使用移动平均结果进行季节性分解 具有季节性、趋势和剩余属性的对象。(runebook.dev)
https://runebook.dev/zh/docs/statsmodels/generated/statsmodels.tsa.seasonal.seasonal_decompose#statsmodels.tsa.seasonal.seasonal_decompose
https://predictivehacks.com/time-series-decomposition/
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卷积线性滤波
对信号进行滤波时，等价于与时域滤波器卷积，得到时域输出。
也可以将信号用 fft 转为频域，乘以频域滤波器，再用 ifft 转为时域。
图片除噪其实去除高频噪声，保留低频信号，使得图像中的噪声像素的灰度值不那么突兀。
Python 代码：
参考资料：
statsmodels.tsa.filters.filtertools.convolution_filter 通过卷积进行线性滤波。(runebook.dev)
https://runebook.dev/zh/docs/statsmodels/generated/statsmodels.tsa.filters.filtertools.convolution_filter
卷积与滤波 -- Convolution and Filtering - 知乎 (zhihu.com)
https://zhuanlan.zhihu.com/p/358221875
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BP滤波
BP滤波的原理是通过设定不同周期持续的长度，从而分离出周期成分。
双边滤波（bilateral filtering）的基本思路是同时考虑将要被滤波的像素点的空域信息（domain）和值域信息（range）。因此是一种 combined 滤波方式，因此叫做 bilateral ，即同时考虑两方面的信息。首先，对于图像滤波来说，一个通常的intuition是：（自然）图像在空间中变化缓慢，因此相邻的像素点会更相近。但是这个假设在图像的边缘处变得不成立。如果在边缘处也用这种思路来进行滤波的话，即认为相邻相近，则得到的结果必然会模糊掉边缘，这是不吼的，因此考虑再利用像素点的值的大小进行补充，因为边缘两侧的点的像素值差别很大，因此会使得其加权的时候权重具有很大的差别，从而使得只考虑自己所属的一边的邻域。可以理解成先根据像素值对要用来进行滤波的邻域做一个分割或分类，再给该点所属的类别相对较高的权重，然后进行邻域加权求和，得到最终结果。
Python 代码
(35条消息) 双边滤波实现-python_双边滤波算法python_J_PrCz的博客-CSDN博客
https://blog.csdn.net/Jingnian_destiny/article/details/107523861
参考资料：
双边滤波原理（Bilateral Filtering） - 知乎 (zhihu.com)
https://zhuanlan.zhihu.com/p/161665205
时间序列BP滤波的EViews操作命令 - 统计学之家 (tjxzj.net)
http://www.tjxzj.net/3874.html
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卡尔曼滤波：
Python 代码
https://blog.csdn.net/m0_37876745/article/details/119348831
https://blog.csdn.net/m0_37876745/article/details/119348831
参考资料：
23. 卡尔曼滤波器详解——从零开始(3) Kalman Filter from Zero - 知乎 (zhihu.com)
https://zhuanlan.zhihu.com/p/245728093
(35条消息) python一维时间序列平滑：移动平均、指数平滑、开尔曼滤波等_均值滤波处理时间序列_`AllureLove的博客-CSDN博客
https://blog.csdn.net/weixin_36488653/article/details/123509546
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离散小波变换
离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT)
1.对于一般的时间序列来说，不是连续变换，而是一种离散信号，这就需要用到离散小波变换，离散小波变换就只是将尺度参数a和平移参数b离散化。小波变换很大程度上弥补了傅立叶分解在非平稳时间序列上的不足，通过将傅立叶分解的正余弦波替换为一组可衰减的正交基，能较好地表达出序列中的突变和非平稳部分。
2.离散小波变换的核心：用不同频率的滤波器分析不同频率的信号，主要是高通滤波器和低通滤波器。
DWT用小波基函数（wavelet fuction）和尺度函数（scale function）来分别分析高频信号和低频信号，也即高通滤波器和低通滤波器。
3.离散小波变换步骤：
将信号x(n)通过具有脉冲响应h(n)的高通滤波器，过滤掉频率低于P/2的部分（信号最高频率为P），即为半带高通滤波。
根据奈奎斯特定理进行下采样，间隔一个剔除样本点，信号留下一半样本点，尺度翻倍，将这一半进行高通滤波。
进一步分解，就把高通滤波器的结果再次一分为二，进行高通滤波和低通滤波。
不断反复进行上述操作，根据自己要求调整。
经过上述操作，保留了频率的时间位置信息。
Python代码
(35条消息) 时间序列信号处理（五）——小波变换python实现_python小波变换_追剧入迷人的博客-CSDN博客
https://blog.csdn.net/abc1234abcdefg/article/details/123517320
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巴特沃斯滤波器
巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐步减少，趋向负无穷大。巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。
Python 代码
(35条消息) 巴特沃斯滤波器详解_FxingZh的博客-CSDN博客
https://blog.csdn.net/weixin_42762173/article/details/121530932
(35条消息) Python 实现巴特沃斯滤波器_python 巴特沃斯滤波器_柳叶吴钩的博客-CSDN博客
https://blog.csdn.net/moge19/article/details/115493633
参考资料
(35条消息) 卡尔曼滤波算法原理(KF,EKF,AKF,UKF)_fk滤波原理_GoodluckTian的博客-CSDN博客
https://zhuanlan.zhihu.com/p/389589521
巴特沃斯滤波器_百度百科 (baidu.com)
https://baike.baidu.com/item/%E5%B7%B4%E7%89%B9%E6%B2%83%E6%96%AF%E6%BB%A4%E6%B3%A2%E5%99%A8/7111538
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参考资料：
(35条消息) 滤波的概念和作用_程序之巅的博客-CSDN博客
https://blog.csdn.net/zhuguiqin1/article/details/121805140
滤波_百度百科 (baidu.com)
https://baike.baidu.com/item/%E6%BB%A4%E6%B3%A2/2938301
https://runebook.dev/zh/docs/statsmodels/examples/notebooks/generated/tsa_filters
https://zhuanlan.zhihu.com/p/579426386
http://tecdat.cn/r%e8%af%ad%e8%a8%80%e5%88%86%e8%a7%a3%e5%95%86%e4%b8%9a%e5%91%a8%e6%9c%9f%e6%97%b6%e9%97%b4%e5%ba%8f%e5%88%97%e6%95%b0%e6%8d%ae%ef%bc%9a%e7%ba%bf%e6%80%a7%e6%bb%a4%e6%b3%a2%e5%99%a8%e3%80%81hp/
https://www.statsmodels.org/dev/examples/notebooks/generated/tsa_filters.html
http://tecdat.cn/r%e8%af%ad%e8%a8%80%e5%88%86%e8%a7%a3%e5%95%86%e4%b8%9a%e5%91%a8%e6%9c%9f%e6%97%b6%e9%97%b4%e5%ba%8f%e5%88%97%e6%95%b0%e6%8d%ae%ef%bc%9a%e7%ba%bf%e6%80%a7%e6%bb%a4%e6%b3%a2%e5%99%a8%e3%80%81hp/
https://www.statsmodels.org/stable/_modules/statsmodels/tsa/filters/filtertools.html#convolution_filter
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