功的计算公式W=FS-cosθ仅适用于恒力做功的过程,即式中的力F应为恒力。如果力的大小有变化,或者力的方向有变化,即力F不是恒力时,又怎样计算变力所做的功呢?计算变力做的功时,有一个基本思维方法就是等效代换。
常用的等效方法有下列几种:
一、用平均力等效代换变力
例1、如图1所示,一个劲度系数为200N/m的弹簧,下端连接一质量2kg的物体,上端连着跨过定滑轮的绳子的一端,在绳子的另一端施一竖直向下的力,自弹簧为原长开始缓慢地竖直向下拉20cm的过程中,拉力做了多少功?(g取10m/s2)。
图1
解析:自弹簧为原长开始缓慢竖直向下拉20cm的过程可分为两个阶段。第一阶段是:当物体尚未离开地面时,拉力随着弹簧的伸长而线性地增大(F=kx)。对于这种方向不变、大小均匀变化的变力做功问题,可用平均力(F=
由于弹簧的最大伸长为
当拉力等于物重后,物体离开地面上升的过程中,拉力恒定不变,所以第二阶段拉力所做的功
故自弹簧为原长开始竖直下拉20cm的过程中拉力所做的功
二、用恒力功等效代换变力功
例2、如图2所示,某人利用跨过定滑轮的绳子拉质量为10kg的物体。定滑轮的位置比A点高4m。若此人缓慢地从A点移动到B点(A、B在同一水平面上,且
图2
解析:在人缓慢地由A移动到B的过程中,虽然拉力的大小不变,但是拉力的方向不断变化,不能直接利用公式
由于物体在绳的拉力作用下上升的位移
所以拉力所做的功
三、用“Pt”等效代换变力功
例3、质量500t的机车,以恒定输出功率从静止出发,经5min行驶2250m后,速度达最大值15m/s,求机车所受阻力的阻力系数。(阻力系数
解析:根据P=Fv,因为机车输出功率P恒定,所以,随着车速的增大,牵引力F将逐渐减小,当牵引力等于阻力f时,车速达最大值。由于机车做变加速运动,难于用牛顿定律解答。若应用动能定理解答,则需要求出牵引力的功,而牵引力是变力,不能用W=FScosθ计算牵引力的功。若用“Pt”等效代换牵引力的功,就能顺利解答该题。
选机车为研究对象,设阻力系数为k,根据动能定理,有
当机车达最大速度时,有
以上两式联立即可解得阻力系数
四、用机械能增量等效代换变力功
例4、某人站在5m高的平台上,用手抛出一个质量为400g的石块。如果抛出时的速度为5m/s,落地时的速率为10m/s。求人对石块所做的功和物体在飞行过程中空气阻力所做的功。(g取10m/s2)
解析:在人抛石块的过程中,手对石块的作用力是变力,不能利用W=FScosθ计算人对石块做的功。如果应用动能定理,则可知人对石块所做的功等于抛出时石块的动能。即
物体在飞行过程中,石块所受的空气阻力也是变力,此力的大小和方向都不知道。如果利用石块机械能的减少量等效代换空气阻力所做的功,问题就会迎刃而解。
根据功能关系,空气阻力所做的功
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