数学跟大自然一样广泛、丰富，共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定
今天很高兴在这边做这个演讲，我研究几何学45年，对几何一直都很喜欢，我的数学就是从几何学来的，以后更应用到很多方面。几何学起源很早，基本上有4000年的历史。第一位对几何有兴趣的希腊哲学家叫泰勒斯（Thales），他开始晓得不能够用神秘宗教来解释自然，要创造一个演绎的方法，利用逻辑的思想来统一自然界与几何的现象。
他的学生毕达哥拉斯(Pythagoras)采取了定理证明的概念，毕达哥拉斯学派很重要，影响了整个西方的科学思想，他们认为宇宙的实体有两个：一个是数字，万物都是数字，数的存在是有限方面的实体；一个是无限的空间，空间是存在的无限的实体。数字跟空间合在一起，生出宇宙万象。
第三个重要的人物是柏拉图（Plato），柏拉图虽是哲学家，但他对数学有很浓厚的兴趣。欧几里得是柏拉图之后集几何学的大成者，他通过归纳法，发现平面几何上有五条显而易见的性质，归纳出五条公理，并根据这个公理推导出平面几何所有的定理。这是一个漂亮伟大的贡献。
算术几何跟平面几何不大一样，平行公理最重要的是影响到算术几何的诞生，也影响到几何学对空间观念的完全改变。
算术几何以后，通过两个伟大的几何学家——高斯与黎曼，对空间的观念开始完全改变。空间不再是欧式几何那样简单的一个空间，而是能够变动、与我们看到的物理现象有关的空间。由于平行公理的变化，从平行移动的观念引出了内对称的观念，进而影响到高等物理粒子的变化。内对称主宰一切已知粒子的变化，著名的物理学家杨振宁先生的理论就是从内对称演绎的。近代数学开始影响近代物理学的发展。
19世纪伟大的法国数学家傅里叶说，数学可以用来决定最一般的规律，同时也可以量度时间、空间、温度。所以他讲数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定。数学是很抽象的，可是从一个伟大的应用数学家那里，看得出来数学有其自己的空间、发展的方法，不一定跟其他自然科学有同样的问题，它是走自己的路。
以简制繁的观念也影响到艺术的发展。大部分学者认为统御自然界的共通原理必须简洁，从牛顿到爱因斯坦、到笛卡尔、到杨振宁，都是这样的看法。所以，描述自然界的绘画，或者表露心灵与自然界交接的诗篇与颂词亦必如此。这种观念，我认为起源于希腊的基本精神。
人的欲望达到最低，可说是“至善”的一个判断标准
英国作者狄更逊（Dickinson）在其所著《希腊人的人生观》（The Greek View of Life）中说：调和呦！就在这一字的意义上，我们可以有办法解说希腊文明的主要观念。
希腊人视美与善、身与心、个人与国家、神与人为调和统一的。调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。数学的美，使我们与大自然更为接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野。也正由于这个原因，从宇宙的起源，星球的运行，原子的结构，一直到山水人物的绘画都有许多几何学家参与其中，进行研究，做出了基本的贡献。
对毕达哥拉斯学派来讲，万物皆数，他
们发现音乐可以用数字来解释，这个学问表面上跟几何学毫无关系，但到19世纪，傅里叶对波动力学开始研究后，谱分析逐渐在几何学生根，任何一个图形都有它的谱，这些谱的研究已经成为几何学的主流。
音乐的美由耳朵来感受，几何的美由眼睛来感受。美丽的音乐与图形都有调和的意义，这种调和的意思可以用数学来定义。调和函数定义于空间，并满足于一个重要性质，即它在每个点的值等于它环绕这点的平均值。击鼓时，鼓的振动由基本波组成，这些基本波的描述与调和函数极为相似，也许这就是音乐和美术有共通之处的原因。
有趣的是，这些基本波都有物理意义。这些波都有能量，在一定的条件下，音乐的基本波具有最少的能量。这是物理和几何学中基本的原则：物质的状态总是在具有最低能量时最稳定。这是个基本的看法，影响了物理学、几何学、数学几百年。
我们喜欢最低能量的状态，正如“水向低流”，因为向下流它的位能是最低的。在社会给定的条件下，人的欲望达到最低时可说是“至善”的一个判断标准，所以清心寡欲是一个调和的概念，因此美与善可以调和，数学家喜欢平静与天真。我的老师陈省身如此，二十世纪伟大的法国几何学家E.Carton也说：“在听数学大师演说数学时，我感到一片平静和纯真的喜悦。这种感觉大概就如贝多芬在作曲时让音乐从他灵魂深处表现出来一样。”
几何学里还有一个重要的概念就是对称，对称的概念影响了数学几百年，也影响到整个物理学界几百年。对称是调和观念的另一种表现，从数学来讲，这种对偶在古代数学中早已出现，例如Apollonius和Pappus研究pole和polar，以后射影几何学家研究点和平面的对偶关系等。流风所被，直至近代拓扑学和近代数学中对偶理论皆有辉煌的发展。
Herman Weyl，20世纪前50年最伟大的数学家，也是物理学家，说：假如要我在大自然的真实与数学的美之间做选择，我宁愿选择数学的美。很幸运的是，自然界的真理往往是极为美妙的。所以从数学的美选择出来的方程、图形，往往能够解释大自然的真理。
普林斯顿高等研究所，我曾经在那里教过5年书，爱因斯坦也曾在那里工作过30年。它的徽章是真和美，左手边是“真”，一个赤裸裸的女神，右手边是“美”，一个漂亮的、穿着衣服的女神。无论文学家、美术家、音乐家、数学家、物理学家都在不断发掘美的意义，如何去表达大自然众生诱导出的美，这是很重要的事情。
未经烈火的煎熬，没有办法完成大学问。
现在我来谈谈体育，无论希腊哲学也好，儒家哲学也好，都很注重体魄的训练。数千年累积下来的学问就是我们的体魄，没有这个实质，就没有办法创新，没有办法离开古人的范畴。很多人讲，做数学是一个天才的活动，可是数千年来，伟大的天才数学家至少有两三百个，他们累积下来的学问是很有意义的，我们不能够超越他们，因为我们的脑袋不大可能超越几百个天才累积下来的经验，我们一定要想办法了解前人的思想，才能够向前走。
所以屈原说，纷吾既有此内美兮，又重之以修能。贾谊说，夫天地为炉兮，造化为工；阴阳为炭兮，万物为铜。未经烈火的煎熬，没有办法完成大学问。
我们很多同学以为自己是天才，以为自己很有本领，不用念书，不用看书，就能够完成很好的学问。你可能考试比人家好，可是要做大学问是不可能的事儿。我在国外40多年，接触了很多伟大的数学家、物理学家，我不认为他们有任何一个是天才，他们都是经过很大的努力才完成工作的。
纵观古今，大部分数学家主要贡献都在年轻时代，这与年青人有良好的体魄有关。有了良好的体魄，在解决问题的时候，才能够集中精神。
我解决的很多问题，相当重要的问题，往往是经过五到十年才能够完成，要经得起这样的煎熬，集中精神，一定要有好的体力，也必须要有浓厚的热情。正如荷马史诗里所描述的英雄，不怕艰苦，勇往直前；如玄奘西行，有着无比的毅力，能够大漠独自坚持一个多月，这都是靠无比的毅力和无比的热情，才能够完成的大事业。
不少学者努力学习，没有宏观的看法，终究不能成就大学问。但有些青年学者，谈玄论道，自以为高人一等，却没有踏实功夫，终究也是一场空。
希腊学问极盛时代，一般学者都有充分的时间去思考、去辩论。政府与学者也有极好的调和精神，学者能够以自由的意志、独立的精神去追求自己的理想。历史上在穷困中挣扎能成功的，毕竟是极少数。所以，曹丕《典论?论文》里说：“贫贱则慑于饥寒，富贵则流于逸乐，遂营目前之务，而遗千载之功。”何时我们才能不受生活的影响，在学问的领域里成为雄伟的丈夫、洁美的女神？
我父亲的书上有一句《文心雕龙》里的一句话：“嗟夫！身与时舛，志共道申，标心于万古之上，而送怀于千载之下。”我今天讲这些，就是希望我们年轻人能够有崇高的思想来学习美真的想法。（摘自凤凰网）
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